天津市部分区2024届高三质量调查（二）数学试卷（PDF版含答案）

天津市部分区 2024 年高三质量调查试卷（二） 数学参考答案 一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5分，共 45分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B B D C D C A B 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。试题中包含两个空的， 答对 1个的给 3 分，全部答对的给 5分。 11 29 1 4 10． i 11．60 12． 2 13． ， 13 13 3 5 1 1 25 1 14． AP a b, 15． , 0, 3 2 8 2 三、解答题：本大题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。 16.（本小题满分 14 分） (Ⅰ)由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC …………1 分 1 7 9b2 b2 2 3b2 ， …………2 分 2 所以b 1 . …………4 分 b c 1 7 (Ⅱ)由正弦定理得 ，即 ， …………6 分 sin B sinC sin B sin 3 21 解得 sin B …………8 分 14 2 (Ⅲ)在 ABC 中，C ，所以 A B 2B …………9 分 3 3 5 7 因为a b，所以B 为锐角，cos B 1 sin2 B …………10 分 14 21 5 7 5 3 sin 2B 2sin Bcos B 2 …………11 分 14 14 14 高三数学（二）参考答案 第 1 页（共 6 页） cos2B 2cos2 11 B 1 …………12 分 14 2 3 1 所以， sin(A B) sin( 2B) cos2B sin 2B 3 2 2 4 3 …………14 分 7 17.（本小题满分 15 分） 因为DA 平面 ABC，AB AC,以 A为原点，AB 为 x轴，AC 为 y 轴，AD 为 z轴，建立空间直角坐标系，由已知可得 A(0,0,0),B(1,0,0,),C(0,1,0),D(0,0,2),E(0,1,1) …………1 分 (Ⅰ)证明：因为 M 为 AD 的中点，所以M (0,0,1)， 所以 EM (0, 1,0) ，BD ( 1,0,2), …………2 分 BD EM 0， …………3 分 所以BD EM …………4 分 所以 EM BD …………5 分 (Ⅱ) BD ( 1,0,2), BC ( 1,1,0) …………6 分 设平面DBC 的法向量n (x, y, z) ，则 BD n 0 x 2z 0 ，即 ，令 z 1得 x y 2, BC n 0 x y 0 所以n (2,2,1) …………8 分 平面 ABC的法向量 AD (0,0,2) 设平面DBC 与平面 ABC夹角为 2 1 cos cos AD,n 2 3 3 1 所以平面DBC 与平面 ABC夹角的余弦值为 . …………10 分 3 高三数学（二）参考答案 第 2 页（共 6 页） (Ⅲ)设 N(x, y, z)且BN BC， (0 1) (x 1, y, z) ( 1,1,0)，则 x 1 , y , z 0 所以N(1 , ,0)，所以EN (1 , 1, 1),CD (0, 1,2) ……12 分 1 30 | cos EN,CD | …………13 分 5 2 2 4 3 10 4 2 16 7 0 1 7 解得 或 （舍） …………14 分 2 2 2 因为BC 2 ，所以BN . …………15 分 2 18.（本小题满分 15 分） (Ⅰ)由题意 2a 8， a 4， …………1 分 c 1 又因为 e , 所以c 2 …………2 分 a 2 所以 b2 a2 c2 12 …………3 分 x2 y2 椭圆的方程为 1. …………4 分 16 12 (Ⅱ)由题可知：斜率存在且不为零， 设直线 l 的方程为 y k(x 4)，M (xM , yM ), N(0, y ) …………5 分 N x2 y2 1 由 16 12 得 (3 4k 2)x2 32k2x 64k2 48 0 …………6 分 y k(x 4) 64k 2 48 ( 4) xM …………7 分 3 4k 2 16k 2 +12 24k xM ，所以y …………8 分 3 4k 2 M 3 4k 2 又 y 4k …………9 分 N 由题意得： OF1 c 2, A1F2 a c 6 …………10 分 高三数学（二）参考答案 第 3 页（共 6 页） 2 又因为 S OMF S A F N 1 9 1 2 1 1 S OF1 yM 2 yM OMF 由 1 2 2 2 S 1 1 A1F2N 9A1F2 yN 6 yN 2 2 24k yM 3+4k 2 2 得 …………13 分 yN 4k 3 6 k ………14 分 2 6 所以直线 l 的方程 y (x 4) …………15 分 2 19.（本小题满分 15 分） (Ⅰ)设{a }的公差为 d ，由题意 n 3d 9,d 3 ………1 分 9 2a1 3d 18,a1 ………2 分 2 3 所以an 3n ………3 分 2 当n 2时， S ， n 1 bn 2 b 所以b S S b b ，所以 n 1 2 ………4 分 n n n 1 n 1 n bn b 当 n 1时，b1 b2 2,b2 4 ， 2 2 ………5 分 b1 所以{b }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， n 所以bn 2 n ………6 分 高三数学（二）参考答案 第 4 页 ... ...