上海市复兴高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 (原卷版+解析版)

2023-2024学年上海市复兴高级中学高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.连续掷两次骰子都出现1点的概率为_____. 【答案】 【解析】 2.用0-9这十个数字组成没有重复数字的三位数的个数为_____. 【答案】648 【解析】 3.设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_____. 【答案】 【解析】正方体的对角线就是球的直径， 4.计算_____. 【答案】1024 【解析】 5.在的展开式中，含项的系数是_____. 【答案】160 【解析】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是 6.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的选法有_____种 【答案】9 【解析】 7.某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率_____. 【答案】 【解析】由题意，双曲线两渐近线为轴和轴，互相垂直， 故为等轴双曲线，离心率为 8.对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简：_____. 【答案】 【解析】等式右侧含的系数跟左侧含有的系数是相同的 则 9.直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】由题意知为直线的中点，则由中点弦的公式可得 则直线的方程为 10.设和分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程有实根的概率是_____. 【答案】 【解析】在所有两次出现的点数有 5 的情形中：所有的有：，，，，，，， ，，，，共 11个， 而满足判别式△ 的有，，，，，，，共 7 种， 因此所求概率为 11.如图所示，已知蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点爬行到相邻的另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为，若蚂蚁爬行3次，则蚂蚁在下底面顶点的概率为_____. 【答案】 【解析】 12.已知实数，满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组，可得， 当直线与椭圆相切时，则有， 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为，即的取值范围是． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（ ） A.，； B.，； C.，； D.，. 【答案】A 【解析】有图知，的最大值大于的最大值，故，；故选A. 14.下列各式中不能判断事件与事件独立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项：因为，由事件相互独立意义可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为 又，所以 由选项可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为，即 所以，即事件与事件独立，所以事件与事件独立，故正确； 选项：事件在事件条件下，要么发生要么不发生，不能判断是否独立，故错误； ... ...