2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年上海市普陀区桃浦中学高三（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对成对数据、、、用最小二乘法求回归方程是为了使( ) A. B. C. 最小 D. 最小 2.设、表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论： 若且，则 若且，则 若且，则 若且，则 其中不正确的个数是( ) A. B. 个 C. 个 D. 个 3.对于全集的子集，定义函数为的特征函数．设，为全集的子集，下列结论中错误的是( ) A. 若， B. C. D. 4.如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架、、、按照逆时针排布，若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，共53分。 5.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 _____． 6.不等式的解集是：_____． 7.现有一组数，，，，，，，，，，则该组数的第百分位数为_____． 8.已知扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为_____． 9.函数的定义域为_____． 10.已知，则的最小值为_____． 11.将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则的坐标为_____． 12.圆的半径的最大值为_____． 13.记为等比数列的前项和，若，，则 _____． 14.若存在实数，使函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为_____． 15.已知边长为的菱形中，，、是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____． 16.己知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_____． 三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知各项均为正数的数列满足，． 求证：数列是等比数列； 求数列的前项和． 18.本小题分 如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点． 求证：平面； 求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19.本小题分 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、设． 求双曲线的渐近线方程： 若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：利用基本不等式求最值；设为，建立相应数量关系并利用它求最值；设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值 若点在双曲线的左支上点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形且边的长等于双曲线的实轴长的倍． 20.本小题分 已知，其中． 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； 设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值； 当时，设，数列满足，且，证明：． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小． 故选：． 利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可． 本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题． 2.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析个结论： 若且，则或，错误； 若且，则或与异面，错误； 若且，则或，错误； 若且，则与平行、相交或异面，错误； 其中有个结论不正确． 故选：． 根据题意，由直线与直线平行、直线与平面平行的性质分析个结论是否正确，即可得答案． 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系，涉及直线、平面平行的性质，属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：：，可得则，，，而中可能有的元素，但中不可能有的元素，，故A正确； ：因为，综合的表达式，可得，故B正确； ：，故C正确； ：，故D错误； 故选：． 根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集 ... ...