四川省成都市石室中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷 (原卷版+解析版)

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届三诊模拟 数学试题（理） （总分：150分，时间：120分钟 ） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．满足且的集合的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，“是钝角”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．乙的成绩的中位数为 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差 4.用数学归纳法证明（）的过程中，从到时，比共增加了（ ） A．1项 B．项 C．项 D．项 5．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 6．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．已知函数的图象在两个不同点与处的切线相互平行，则的取值可以为（ ） A． B．1 C．2 D． 8.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直 9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（ ） A． B． C． D． 10． 在平面直角坐标系中，点，向量，且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右焦点为，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，射线与圆，当射线从开始在平面上按逆时针方向绕着原点匀速旋转（、分别为和上的点，转动角度不超过）时，它被圆截得的线段长度为，则其导函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 12．若存在满足，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 若复数（为虚数单位），则 . 14．已知a是1与2的等差中项， b是 1与16的等比中项，则ab等于 . 15.已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则 . 16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径 下口直径 母线的长度依次等于、、，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于 . 三、解答题（本题共6道小题，共70分） 17．（本小题满分12分）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，． (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)设AC=3，求． 18．（本小题满分12分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (Ⅲ)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 19．（本小题满分12分）已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调性； (Ⅱ)设，且是的极值点，证明：. 20．（本小题满分12分）已知平面与平面是空间中距离为1的两平行平面，，，且，和的夹角为. (Ⅰ)证明：四面体的体积为定值； (Ⅱ)已 ... ...