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课件网) 第三章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性 内容索引 学习目标 核心体系 活动方案 备用题 学 习 目 标 1. 了解函数的奇偶性的概念和几何意义.2. 了解函数的周期性的概念和几何意义． 核 心 体 系 活 动 方 案 活动一 基础训练 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】 C 2. (2023扬州中学高三校考)已知函数f(x)的定义城为R，且满足f(－x)＝f(x)，f(x)＋f(4－x)＝0，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－4，则f(2 023)的值为( ) A. －3 B. －4 C. 3 D. 4 【分析】 根据题目条件得到f(x)＝f(x－8)，故f(x)的一个周期为8，从而得到f(2 023)＝f(－1)＝f(1)，计算出f(1)＝－3，得到答案． 【答案】 A 【解析】 因为f(－x)＝f(x)，所以f[－(4－x)]＝f(4－x)，即f(x－4)＝f(4－x)，又f(x)＋f(4－x)＝0，故f(x)＋f(x－4)＝0，即f(x)＝－f(x－4)①，用x－4代替x得f(x－4)＝－f(x－8)②，由①②得f(x)＝f(x－8)，故f(x)的一个周期为8，故f(2 023)＝f(8×253－1)＝f(－1)．由f(－x)＝f(x)，得f(－1)＝f(1)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－4，所以f(1)＝12－4＝－3，故f(2 023)＝f(1)＝－3. 3. (多选)(2023南通高三统考)已知函数f(x)为R上的奇函数，f(1＋x)为偶函数，则下列结论中正确的是( ) A. f(－2－x)＋f(x)＝0 B. f(1－x)＝f(1＋x) C. f(x＋2)＝f(x－2) D. f(2 023)＝0 【分析】 利用条件中的奇偶性进行推理可得周期，结合选项可得答案． 【答案】 BC 【解析】 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．因为f(1＋x)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，故B正确；由f(－x＋1)＝f(x＋1)，得f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x)．因为f(－2－x)＋f(x)＝f(x)－f(x＋2)，其结果不一定为零，故A不正确；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，故C正确；由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4，所以f(2 023)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)，因为f(1)的值从题目无法得出，故D不正确．故选BC. 【答案】 (－∞，－1) 5. 已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为_____. 【解析】 由题意，得f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－(a3＋sin a)＋1＝－1＋1＝0. 【答案】 0 活动二 典型例题 题组一 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： 1 (3) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．不妨设x>0， 因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0， 所以f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)为奇函数． 判断函数的奇偶性首先需要注意函数的定义域，然后再判断f(x)，f(－x)之间的关系． 题组二 函数的奇偶性与周期性及其应用 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1) 求证：f(x)是周期函数； (2) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 2 【解析】 (1) 由题意，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 因为f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(0)＝0，f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(2)＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0. 又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)＝2×2－22＝0. 设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＋f(x)＝1.当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2. (1) 求证：f(x)是周期函数； (2) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 【解析】 (1) 由题意，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 因为f(x＋2)＋f ... ...
