高中数学三轮复习（直击痛点）：专题11向量极化恒等式

高中数学二轮复习（直击痛点）：专题11向量极化恒等式 一、选择题 1．（2023高二上·东莞开学考）中，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；圆的标准方程；平面向量的投影向量 【解析】【解答】解：如图建立坐标系，则 ，设， ，，化简得， 在 方向投影，其中， . 故答案为：D. 【分析】建立坐标系，设，由得到的轨迹方程，在数量积运算求解. 2．（2017·新课标Ⅱ卷理）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 （ + ）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【答案】B 【知识点】平面向量的数量积运算 【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则 =（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y）， 则 （ + ）=2x2﹣2 y+2y2=2[x2+（y﹣ ）2﹣ ] ∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ， 故选：B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 3．（2017高二上·大连开学考）在边长为1的正三角形ABC中， =x ， =y ，x＞0，y＞0，且x+y=1，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用 【解析】【解答】解：由题意， ∵ ∴ = =﹣1+ ∵x＞0，y＞0，且x+y=1 ∴xy≤ ∴﹣1+ =﹣1+ ≤ 当且仅当x=y= 时，取等号 ∴当x=y= 时， 的最大值为 故答案为：B 【分析】通过向量的加法运算 = ( + ) ( + )，根据题意进行等量代换，不难得出 =-1+，再根据均值不等式可得到最大值. 4．（2018高二上·嘉兴月考）已知 是边长为4的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】【解答】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则A（0，2 ），B（﹣2，0），C（2，0）， 设P（x，y），则 =（﹣x，2 ﹣y）， =（﹣2﹣x，﹣y）， =（2﹣x，﹣y）， 所以 （ + ）=﹣x （﹣2x）+（2 ﹣y） （﹣2y） =2x2﹣4 y+2y2 =2[x2+2（y﹣ ）2﹣3]； 所以当x=0，y= 时， （ + ）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6． 故答案为：D． 【分析】以BC中点为坐标原点，建立坐标系，利用平面向量数量积坐标表示的应用可求得结果. 5．（2017高二上·马山月考）已知向量 ，在 轴上有一点 ，使 有最小值，则 点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的数量积运算 【解析】【解答】设点P的坐标为（x，0），可得： =（x﹣2，﹣2）， =（x﹣4，﹣1）， 因此， =（x﹣4）（x﹣2）+2=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1， ∵二次函数y=（x﹣3）2+1，当x=3时取得最小值为1， ∴当x=3时， 取得最小值1，此时P（3，0）， 故答案为：B． 【分析】设出P点坐标，根据平面向量的数量积运算转化为二次函数，利用配方法求最值即可. 二、多项选择题 6．（2023高三上·普宁月考）已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（　　） A．面积的最大值为 B．的最大值为 C．的取值范围为 D． 【答案】A,B 【知识点】平面向量的数量积运算；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，， 对于A，由余弦定理和基本不等式得出： 所以ab的最大值为4，可得的面积为 所以的面积的最大值为，当且仅当时等号成立，可得A正确； 对于B，设的外接圆半径为R，则 可得 因为 可得 ， 因为所以 则当时，即时，的最大值为，所以B对； 对于C， 因为所以tanA的取值范围为， 所以的取值范围为所以C错； 对于D，若 ... ...