高中数学三轮复习（直击痛点）：专题13数列中的奇、偶项问题

高中数学二轮复习（直击痛点）：专题13数列中的奇、偶项问题 一、选择题 1．（2024高三上·重庆月考）数列、满足：，，，则数列的最大项是（　　） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【答案】B 【知识点】数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合 【解析】【解答】解：因为数列满足：，， 所以 (1)+(2)+...+(n-1)，得出， 所以 当n=1时，，所以数列的通项公式为： 因为数列满足， 所以数列的通项公式为： 令，则，所以 所以k=9，则数列的最大项是第九项. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合累加法得出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再结合数列的单调性，进而得出数列的最大项. 2．（2023高三上·黄冈）数列满足，，，，设，则数列的前10项和为（　　） A．1 B．0 C．5 D． 【答案】B 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：数列满足，，，， 则数列中，奇数项构成首项为1公比为-1的等比数列， 偶数项构成首项为-1公比为-1的等比数列， ∴，， ∴，， ∵，∴为奇数时，；为偶数时，， ∴数列的前10项和为0. 故答案为：B. 【分析】根据条件，求出数列求出通项，再求出的通项，最后求出10项和即可. 二、解答题 3．（2023高三上·广州月考）已知数列满足 （1）判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由； （2）若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）数列成等比数列. 根据得 ，即数列成等比数列. （2）由(1)得，， 由，得. 显然单调递增，且， 故. 当时， 综上，知. 当时， 当时， 【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的求和 【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等比数列的定义运算求解； (2) 根据题意可得 ，构建函数，结合单调性可得，进而可得 ，利用放缩法结合裂项相消法分析证明. 4．（2024·巴南模拟）已知数列的首项，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）解：因为，即， 则， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）解：由（1）知，所以. 所以 ， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得； 综上所述：. 【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和 【解析】【分析】本题考查等比数列的定义，分组求和的应用. （1）根据题意先将变形为：再代入，可得出其结果为常数，进而证明结果； （2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解. 5．（2024·荆州市模拟） 已知数列满足，，且数列是等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）解：因为数列是等差数列，记其公差为， 则有， 所以， 所以； （2）解：， 则， 则 ， 所以. 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的前n项和 【解析】【分析】（1）由数列是等差数列，记其公差为，根据等差数列性质计算即可求解； （2）由（1）先表示，再利用错位相减法求和即可. 6．（2024高三上·辽源期末） 设数列的前项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前的项和． 【答案】（1）解：由，可得， 两式相减得， 令时，，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解： 由题意，可得， 所以奇数项的和为， 偶数项的和为， 则， 两式相减得：， 所以， 所以. 【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系 【解析】【分析】（1）由，得到，得到是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求解； （2）由（1）得，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项与偶数项的和，即可求解. 7．（2023高三上·和平月考）已知数列满足，记. （1）求的 ... ...