【精品解析】高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题

高中数学三轮复习（直击痛点）：专题18隐圆问题 一、填空题 1．（2024高二上·南山期末）已知点，动点满足，记的轨迹为，以的最大值为长轴，且以分别为左 右焦点的椭圆为，则和的交点到轴的距离为　 　. 【答案】 【知识点】轨迹方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：因为动点P满足，则动点在以线段为弦的圆上， 因为点、关于轴对称，则圆心在轴上，设圆心为， 因为，所以， 在中，因为， 所以，， 所以圆心为或， 当时， 曲线的方程为； 当时， 曲线的方程为；显然，曲线关于轴对称， 所以动点到点距离的最大值为圆的直径，即，则长轴长为4， 所以椭圆：，则曲线与曲线的图象如下图所示： 因为曲线与曲线均关于轴对称，所以可只考虑轴上方形成的交点， 即联立，消去整理可得，解得或（舍）， 故曲线和曲线的交点到轴的距离为. 故答案为：. 【分析】由动点P满足，则可得到动点在以线段为弦的圆上，由圆的性质可得圆心为或，半径为2，则动点P到点距离的最大值为4，即可得到椭圆的方程，联立部分曲线的方程与椭圆方程求解即可. 2．（2024高三上·绵阳高考模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，且点到直线的最小距离为，则实数的值是　 　． 【答案】1 【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系 【解析】【解答】设 因为点，，点满足， 则， 所以点是以原点为圆心，半径的圆， 如图： 而到直线的距离， 因为点到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减半径，即， 所以. 故答案为：1 【分析】根据可以求出点C的轨迹是圆，把点到直线的最小距离转化成圆心到直线的距离减半径即可求解. 3．（2024高二上·重庆市期末）古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满足，则面积的最大值为　 　. 【答案】13 【知识点】直线和圆的方程的应用；三角形中的几何计算 【解析】【解答】设点 因为，所以MA=2MB，所以，所以， 所以点M的方程为，所以直线AC的方程为， 圆心(0，0)到直线AC的距离d为 设点M到边AC的高为h，， 所以的最大值为 故答案为：13. 【分析】根据题意求出点M的方程与边AC，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即求出边AC的高，进而求出三角形面积的最大值. 4．（2023高二上·绍兴期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则　 　. 【答案】 【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用 【解析】 【解答】解：由， 当t=0时，则需要a=b=0与矛盾，所以t=0（舍）； 当时，由得出点(a，b)到直线x+y+1=0的距离为 由得出点(a，b)在圆上， 因为对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式 等价于圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为， 则需要圆的半径， 过O(0，0)作垂直于直线x+y+1=0于H，交圆于点P， 则 则要使圆上恰有三个点满足到直线x+y+1=0的距离为， 则，所以所以。 故答案为：. 【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式和点与圆的位置关系，再结合几何法得出满足要求的实数t的值。 5．（2023高二上·宝安期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是　 　；若P为矩形场地AD ... ...