2024年上海市宝山区高考数学二模试卷(含解析）

2024年上海市宝山区高考数学二模试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知随机变量服从正态分布，若，则( ) A. B. C. D. 3.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是( ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 4.数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题： 等比数列为“某数列”； 对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得． 则下列选项中正确的是( ) A. 为真命题，为真命题 B. 为真命题，为假命题 C. 为假命题，为真命题 D. 为假命题，为假命题 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.抛物线的焦点坐标为_____． 6.已知，则 _____． 7.将化为有理数指数幂的形式为_____． 8.已知向量，，若，则实数 _____． 9.设实数、满足为虚数单位，则 _____． 10.有一组按从小到大顺序排列的数据：，，，，，，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_____． 11.已知集合，且，则实数的值为_____． 12.在数列中，，且，则_____． 13.某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为_____万件． 14.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为 ． 15.某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描． 假设：警戒区域为空旷的扇环形平地； 假设：视探照灯为点，且距离地面米； 假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆． 当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、 第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过_____次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕． 16.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是_____． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在中，角、、的对边分别为、、，已知． 求角的大小； 若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状． 18.本小题分 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径． 求证：； 若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小． 19.本小题分 在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为． 求甲投篮次得分的概率； 若乙投篮次得分为，求的分布和期望； 比较甲、乙的比赛结果． 20.本小题分 已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． 求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； 若，求的取值范围； 椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标． 21.本小题分 函数的表达式为． 若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； 函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，，，，，证明：数列是严格减数列； 已知定义在上的奇函数满足，对任意，当时，都有且． 记，． 当时，是否存在、，使得成立？若 ... ...