【精品解析】上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷

上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（2023高三上·浦东月考）已知，，则　 　. 2．（2023高三上·浦东月考）过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为　 　. 3．（2023高三上·浦东月考）已知在角的终边上，则　 　. 4．（2023高三上·浦东月考）已知复数，（i是虚数单位），若是纯虚数，则实数　 　. 5．（2023高三上·浦东月考）等差数列满足，，则　 　. 6．（2023高三上·浦东月考）已知函数（且）恒过定点，则　 　． 7．（2023高三上·浦东月考）已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是　 　. 8．（2023高三上·浦东月考）已知正实数x、y满足，则的最小值为　 　. 9．（2023高三上·浦东月考）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则　 　. 10．（2023高三上·浦东月考）函数y=sin2x+2sinx的最大值为　 　． 11．（2023高三上·浦东月考）已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是　 　. 12．（2023高三上·浦东月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为　 　. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分） 13．（2023高三上·浦东月考）若，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 14．（2023高三上·浦东月考）设是复数，则下列命题中的假命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（2023高三上·浦东月考）在正方体中，给出下列四个推断： ① ② ③平面平面 ④平面平面 其中正确的推断有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2023高三上·浦东月考）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（　　） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17．（2023高三上·浦东月考）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）求证：平面； （2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离． 18．（2023高三上·浦东月考）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为. （1）求角的大小； （2）求面积的最大值. 19．（2023高三上·浦东月考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型. （1）求a、b的值； （2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路的长度最短 求出最短长度. 20．（2023高三上·浦东月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点. （1）求周长； （2）是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围. 21．（2023高三上·浦东月考）设是定义 ... ...