四川省成都市玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价试题数学试题（含解析）

玉林中学2023-2024学年高一下学期4月诊断性评价 数 学 （时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是正确的．） 1． （ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ） A． B． C． D． 3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．在中，角所对的边分别为，若，则三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5．如图所示，某同学为了测量树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度约为（）（ ） A． m B． m C． m D． m 6．已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ） A．8 B． C．16 D．17 8．已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度或仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是 10．如右图，已知圆半径为2，弦，点为圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点有且仅有一个 11．若函数在上为单调函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置． 12．在中，角的对边分别是，，则 ． 13．如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 ． 14．中，角的对边分别是，，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知，，，，且． （1）求的值； （2）求向量与向量夹角的余弦值． 16．（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角的大小； （2）若， ①求面积的最大值； ②求的取值范围． 17．（本题满分15分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，． （1）求灯柱的高（用表示）； （2）若灯杆与灯柱所用材料相同，设此用料长度之和为，求关于的函数表达式； （3）求的最小值． 18．（本题满分17分）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为斜坐标系．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标．试在该斜坐标系下探究以下问题： （1）设，求； （2）已知，，求的值； （3）已知，，，求的最大值． 19．（本题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为． （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 参考答案： 1．D 【详解】，. 故选：D. 2．B 【详解】由图形可知： . 故选：B. 3．A 【详解】对于 ... ...