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课件网) 微专题九 圆锥曲线之双斜率问题 分析、解决直线与圆锥曲线交汇中，具有公共点的两条直线的斜率之和或斜率之积问题时，我们经常采用的就是“设而不求”技巧，对字母形式的代数运算以及推理能力的要求较高．在求解圆锥曲线问题时，常常需要将直线方程与圆锥曲线方程联立，如果借助齐次化的思想方法，就可以得到相关的一元二次方程，从而将题目中涉及的两条直线的斜率直接视为该一元二次方程的两个根，再根据根与系数的关系，即可直接得到斜率之和与斜率之积的表达式．齐次化思想方法的这种操作又常被称为齐次化联立．利用这种齐次化联立与平移齐次化方法，往往可以降低一类斜率之和或斜率之积问题的运算量，实现巧解． 一、 圆锥曲线斜率之和为定值问题 从圆锥曲线上一点引两条直线，由此可设置相关问题，因形状类似筷子，故称为筷子问题． 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A，B两点．若kPA＋kPB＝0，则kAB为定值；反之也成立，即若kAB为定值，则kPA＋kPB＝0. 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P(x0，y0)引两条直线，分别和曲线交于A，B两点： 如图，已知M(a,3)是抛物线y2＝4x上的定点，直线MA，MB的斜率互为相反数，且与抛物线交于A，B两个不同的点．求证：直线AB的斜率为定值． 1 (1) 求该双曲线的标准方程； (2) 若B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值． 2 如图，已知P(2,2)是抛物线C：y2＝2x上一点，过点P作两条斜率互为相反数的直线分别与抛物线交于A，B两点，直线PA的斜率为k(k＞0)． (1) 若直线PA，PB恰好为圆(x－2)2＋y2＝1的切线，求直线PA的斜率； (2) 求证：直线AB的斜率为定值． 3 二、 圆锥曲线斜率之积为定值问题 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P引两条直线，分别和曲线交于A，B两点．若kPA·kPB＝－1，则直线AB过定点． 从圆锥曲线(圆，椭圆，双曲线，抛物线)上一点P(x0，y0)引两条直线，分别和曲线交于A，B两点： (1) 求椭圆C的方程； (2) 若点M，N在椭圆C上，且AM⊥AN，求证：直线MN过定点． 4 经过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点． (1) 判断以AB为直径的圆与该抛物线准线的位置关系，并说明理由； (2) 过点N(n,0)的直线与抛物线交于P，Q两点，若OP⊥OQ，求n的值． 5 三、 圆锥曲线斜率之商为定值问题 蝴蝶定理，是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志，“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶，因而得名． 蝴蝶定理：设Q为圆内弦XY的中点，过点Q作弦AB和CD.设AD和BC各相交XY于点P和点R，则Q是PR的中点． 进一步，去掉中点的条件，可得“坎迪定理”． 定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易地将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况)． 蝴蝶定理：圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过点Q作弦AB和CD.设AD和BC各相交XY于点P和点R，则Q是PR的中点． (3) 对于抛物线y2＝2px，直线AB过x轴点P，直线AC，BD交x轴于点Q，有： ③直线AB，CD的交点的轨迹是定线x＝－xQ. 6 【解析】(蝴蝶定理法) 设直线CD与x轴相交于点Q, 过点Q作x轴的垂线，交椭圆于点E，F，交AC，BD于点I，J， 显然Q是EF的中点，由蝴蝶定理得Q也是IJ的中点，即IQ＝JQ. 因为P为AC，BD的交点， 7 (1) 求双曲线C的方程； (2) 若A1，A2分别是双曲线C的左、右顶点，过点F的直线与双曲线C交于M，N两点(不同于点A1，A2)．记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2， 8 (1) 求椭圆C的 ... ...
