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课件网) 微专题十一 概率模型的辨识与应用 求概率是概率统计模块的核心，求概率的关键是明确事件间的关系、确定所求的概率是何种类型的概率，再运用相应的知识加以解决． 二项分布模型与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点，在有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样为二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因而每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．在概率问题中，高中阶段常涉及四种概率模型，下面就这四种模型予以辨识说明． 一、 相互独立事件概率模型 相互独立事件概率模型的特征 (1) 实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响； (2) 若事件A1，A2，…，An相互独立，则满足P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)； (3) 在求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概率求值． (1) 若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的得分之和为X，求X≤3的概率； (2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红得分之和的概率分布，并指出他们选择何种方案抽奖，得分之和的数学期望较大？ 1 (2) 设小明、小红两人都选择方案甲的得分之和为X1， 由题意，得X1的所有可能取值为0,2,4. 所以X1的概率分布为 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，得分之和的数学期望较大． (2023苏州中学校考)甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局的概率为c(a＋b＋c＝1，a>0，b>0，c≥0)，且每局的比赛结果相互独立． (2) 已知c＝0，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的概率分布及数学期望E(X)的最大值． 2 记“进行4局比赛后甲选手赢得比赛”为事件M， 则事件M 包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA，共5种情况，所以P(M)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ACCA)＋P(CACA)＋P(CCAA)＝ (2) 因为c＝0，所以每局的比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，则a＋b＝1. 由题意，得X的所有可能取值为2,4,5. 又P(X＝2)＝P(AA)＋P(BB)＝a2＋b2， P(X＝4)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ABBB)＋P(BABB)＝(ab＋ba)a2＋(ab＋ba)b2＝2ab(a2＋b2)， P(X＝5)＝P(ABAB)＋P(ABBA)＋P(BABA)＋P(BAAB)＝a2b2＋a2b2＋a2b2＋a2b2＝4a2b2， 所以X的概率分布为 X 2 4 5 P a2＋b2 2ab(a2＋b2) 4a2b2 故E(X)＝2(a2＋b2)＋8ab(a2＋b2)＋20a2b2＝2(1－2ab)＋8ab(1－2ab)＋20a2b2＝4a2b2＋4ab＋2. 二、 二项分布概率模型 二项分布概率模型的特征 (1) 在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生； (2) 各次试验中的事件是相互独立的； (3) 在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变． (2023苏州常熟中学校考)甲、乙、丙三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为p1，p2，p3，且0
