海南省华侨中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

海南省华侨中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．已知集合,,则( ) A. B. C. D.2 2．已知复数,其中i虚数单位,则( ) A. B. C. D. 3．设平面向量,,且,则( ) A.1 B.14 C. D. 4．过点作圆的两条切线,设切点分别为A,B,则( ) A. B. C. D. 5．已知定义在R上的偶函数在上单调递减,则( ) A. B. C. D. 6．如图为“杨辉三角”示意图,已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为,设,将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为,则的值为( ) A.24 B.26 C.29 D.36 7．若,则( ) A. B. C. D. 8．若,则的值为( ) A.-7 B.-14 C. D. 二、多项选择题 9．在平面直角坐标系中,角以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点,,定义,,则( ) A. B.是奇函数 C.若,则 D. 10．,分别为随机事件A,B的对立事件,下列命题正确的是( ) A.若A,B为相互独立事件且,则 B. 若,则 C. D.若,,则 11．定义在的函数满足,且,若都有成立,若方程的解构成单调递增数列,则下列说法中正确的是( ) A. B.若数列为等差数列,则公差为6 C.若,则 D.若,则 三、填空题 12．已知,,且,则的最小值为_____． 13．米斗是称量粮食的量器,是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用,米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意,是丰饶富足的象征,带有浓郁的民间文化韵味,如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台,已知该米斗的侧棱长为,两个底边长分别为和,则该米斗的外接球的表面积是_____． 14．在平面直角坐标系中,双曲线的左、右焦点分别是,,过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,点T在x轴上,满足,且经过的内切圆圆心,则C的离心率为_____． 四、解答题 15．已知平面四边形（图1）中,,均为等腰直角三角形,M,N分别是,的中点,,,沿将翻折至位置（图2）,拼成三棱锥． （1）求证：平面平面; （2）当二面角的平面角为时,求C点到面的距离． 16．已知中,,在的内部有一点M满足且． （1）若为等边三角形,求值; （2）若,,求的长． 17．如图,已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,椭圆E的离心率为,的面积为1,若过点的直线与E相交于M,N两点,过点M作x轴的平行线分别与直线,交于点C,D． （1）求椭圆E的方程; （2）求证：M,C,D三点的横坐标,,满足关系式． 18．某学校有甲,乙两个餐厅,经统计发现,前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为,第二天选择餐厅乙就餐的概率为;前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为,第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是,选择餐厅乙就餐的概率是,记某同学第n天选择餐厅甲就餐的概率为． （1）求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率; （2）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求随机变量X的分布列及期望; （3）求出的通项公式,并证明：当时,． 19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中,e为自然对数的底数,.以上公式称为泰勒公式.设,,根据以上信息,并结合高中所学的数学知识,解决如下问题. （1）证明：; （2）设,证明：; （3）设,若是的极小值点,求实数a的取值范围. 参考答案 1．答案：C 解析：因为或, 所以. 故选：C. 2．答案：A 解析：, 则. 故选：A. 3．答案：B 解析：因为,所以又, 则 所以, 则, 故选：B. 4．答案：C 解析：因为,即,故圆心为,半径为, 又,所以,故切线长, 由,得到, 故选：C. 5．答案：B 解析：因为偶函数在上单调递减, 所以函数在单调递增,且,, 又,, 所以,, 所以,即. 故选：B. 6．答案：B 解析：依题意,题中的等比数列为1,2,4,8,16,故该数列前n项和, 则, 要使数列中只取得整数项,需使是5的正整倍数即可,即使的最末位是1或6即可, 于是新的数列的项依次为：4,6,9,11,14,16,1 ... ...