专题07 数列 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 高考频度 ★★★★★ 考情分析 高考数学中，数列这个考点考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高． 一、选择题 【真题1】（2023 新高考Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证． 【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1d，即a1dn+a1，故{}为等差数列， 即甲是乙的充分条件． 反之，若{}为等差数列，则可设D， 则S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D， 当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D， 上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D， 当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D， 则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数）， 所以数列{an}为等差数列．即甲是乙的必要条件． 综上所述，甲是乙的充要条件． 故本题选：C． 【真题2】（2023 新高考Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 【答案】C 【分析】由题意知公比q≠1，设首项为a1，由S6＝21S2求出q2，再代入S4求出，由此求得S8． 【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1， 设首项为a1，则5①，②， 化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去）， 代入①得， 所以S8（1﹣q4）（1+q4）（﹣15）×（1+16）＝﹣85． 故选：C． 【真题3】（2023 甲卷）已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ） A．7 B．9 C．15 D．30 【答案】C 【分析】利用已知条件求解等比数列的公比，然后求解即可． 【解答】解：等比数列{an}中，设公比为q， a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1， （如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾）， 可得5 4，解得q2＝4，即q＝2， S415． 故选：C． 【真题4】（2023 甲卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6＝10，a4a8＝45，则S5＝（ ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出a1，d，然后结合等差数列的求和公式可求． 【解答】解：等差数列{an}中，a2+a6＝2a4＝10，所以a4＝5， a4a8＝5a8＝45，故a8＝9，则d1，a1＝a4﹣3d＝5﹣3＝2， 则S5＝5a110+10＝20． 故选：C． 【真题5】（2022 乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得a6的值． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1． ∵前3项和为a1+a2+a3168，a2﹣a5＝a1 q﹣a1 q4＝a1 q（1﹣q3）＝42， ∴q，a1＝96，则a6＝a1 q5＝963， 故选：D． 【真题6】（2023 天津）已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an+1＝2Sn+2，则a4的值为（ ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【分析】由已知递推关系先表示出a2，a3，然后结合等比数列的性质可求首项a1，公比q，进而可求a4． 【解答】解：因为{an}为等比数列，an+1＝2Sn+2， 所以a2＝2S1+2＝2a1+2，a3＝2S2+2＝2（a1+2a1+2）+2＝6a1+6， 由等比 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
