福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（含答案）

龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考 数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 A． B． C． D． 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则 A．1 B．2 C． D． 3.若平面向量与的夹角是180°，且，则 A． B． C． D． 4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 6.已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 7.如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则 A．19∶8 B．2∶1 C．17∶10 D．16∶11 8.已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是 A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是 A． B． C．若△ABC是锐角三角形，恒成立 D．若O为△ABC的外心，且，，则 11.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是 A．三棱锥的体积为定值 B．平面 C．的最小值为 D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 . 13.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计） 14.在四面体ABCD中，，平面，E，F分别为线段AD，BC的中点，现将四面体以AB为轴旋转，则线段EF在平面上投影长度的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知复数（，为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数a的值； （2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围. 16.（15分） 已知向量，. （1）当且时，求； （2）当，时，求向量与的夹角的余弦值. 17.（15分） 如图，梯形ABCD是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，BF的中点. （1）证明：平面平面. （2）若三棱锥C-GBH的体积为，求圆台的侧面积. 18.（17分） 如图1，在平面四边形PABC中，，，.E是线段PC上靠近P端的三等分点，F是线段CD的中点，.将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，连接PA，PB，BD，如图2. 图1 图2 （1）在图2中，证明：平面BDE. （2）在图1中，求的值. 19.（17分） 现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. （1）求出所有可能的三角形的面积. （2）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，. ①当大小变化时，求四边形ABCD面积的最大值，并求出面积最大时的值. ②当时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期 ... ...