【精品解析】2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论

2024年中考数学热点探究十六 相似图形中的分类讨论 一、选择题（每题3分，共27分） 1．（2023九上·西安期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题 【解析】【解答】解：∵∠B=90°-∠C，∠BAC＝90°，∠C＝60°， ∴∠B=90°-60°=30°， ∴AC=BC=2， ∵点D是AC的中点， ∴CD=AC=1， ∵动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动， ∴BE=t，则CE=4-t， 当△CDE∽△CAB时 即， 解之：t=2； 当△CDE∽△CBA， ∴即 解之：t=3.5， ∴t的值为2或3.5. 故答案为：D. 【分析】利用三角形的内角和定理可求出∠B=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长，同时求出CD的长；再根据点E的运动方向和速度，可表示出BE，CE的长，再分情况讨论：当△CDE∽△CAB时；当△CDE∽△CBA时，分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可求解. 2．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2， ∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°. ∵D为AB的中点， ∴AD=. ∵， ∴DE=1. 当∠ADE=90°时， ∵∠ADE=∠ABC，， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴AE=2. 当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH， ∵D为AB的中点，H为AC的中点， ∴DH∥BC，DH=BC=1， ∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1， ∴∠DEH=60°， ∴∠ADE=∠A=30°， ∴AE=DE=1. 综上可得：AE的长为1或2. 故答案为：D. 【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答. 3．（2023九上·潜山期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（　　） A． B． C． 或4 D． 或4 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ABC沿DE折叠，B和F重叠， ∴BD=DF， 设BD=DF=m， ∵BC=8， ∴CD=8-m， 当△FDC∽△ABC时， ， ∵AB=AC=6， 解得：m=， 即BD=； 当△DCF∽△ABC， ， ∴ 解得：m=4， 即BD=4； 当△CFD∽△ABC时，同理可得BD=4. 故BD=或4. 故答案为：D. 【分析】先根据折叠性质得到BD=DF，设BD=m，则CD=8-m，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到关于m的方程，解方程即可得BD的长. 4．（2022九上·青岛期中）一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（　　） A．一种 B．两种 C．三种 D．四种或四种以上 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长， 当长的边对应长的边时， ，解得：， 此时， 所以此截法不可行； 当长的边对应长的边时， ，解得：， 此 ... ...