2024年中考数学热点探究十八 几何最值问题

2024年中考数学热点探究十八 几何最值问题 一、选择题（每题2分，共20分） 1．（2024九上·永吉期末）如图，若正六边形绕着中心旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的旋转；正多边形的性质 【解析】【解答】解： 连接OA，OB，由正六边形可知，∠AOB=360°÷6=60°， 正六边形的一边绕着中心旋转60°，才可以和与之相邻的边重合， 所以旋转角 的 最小值为60°。 故答案为：D 【分析】 正六边形的边AB绕着中心 O逆时针旋转或顺时针旋转60°，才可以与相邻的边BC或AF重合，所以旋转角的最小值为60°。最小的旋转角是这个正六边形的中心角。 2．（2022九上·温州开学考）如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD，连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（　　） A．等于定值5- B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质 【解析】【解答】解：记AC交BD于点O，如图： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB， ∴ ∴ ∴ 当时， AE+CF 的值最小，E为OB中点， ∴， 同理： ∴ 故答案为：D. 【分析】根据平行四边形的性质得：结合已知条件得到：然后根据勾股定理求出AC的长，根据当时， AE+CF 的值最小，即可求解. 3．（2022九上·舟山期中）如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（　　） A．随点C的运动而变化，最小值为 B．随点C的运动而变化，最大值为8 C．随点C的运动而变化，最大值为 D．随点C的运动而变化，但无最值 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；圆-动点问题 【解析】【解答】解：连接OC， ∵△CBD是等边三角形， ∴∠BDC=60°，CD=BD， 在△OCD和△OBD中， ∴△OCD≌△OBD（SSS） ∴∠BDO=∠CDO=∠CDB=30°， 过点O作OF⊥BD于点F， ∴OD=2OF， 要使OD的值最大，则OF的值最大， ∴当点F和点B重合时，此时OF的值最大， ∴OF=OB=4， ∴OD=4×2=8. 故答案为：B 【分析】连接OC，利用等边三角形的性质，可证得∠BDC=60°，CD=BD，利用SSS证明△OCD≌△OBD，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO=30°；过点O作OF⊥BD于点F，可知OD=2OF，要使OD的值最大，则OF的值最大，可得到当点F和点B重合时，此时OF的值最大，可求出OD的长. 4．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（　　） A．PA+PB+PC+PD的最小值为10 B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C．若△PAB △PDA，则PA=2 D．若S1=S2，则S3=S4 【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质 【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确； B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确； C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误； D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确. 故答案为：C. 【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形 ... ...