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课件网) 函数概念 函数概念的起源与发展史 莱布尼茨 1646－1716 德国数学家 1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”（函数）一词，后又经德国数学家康托尔在集合论的基础上，揭示了函数的本质，中国清代数学家李善兰1859年在翻译《代数学》一书时，将function翻译成函数，将函数一词引入中国，他翻译到“凡式中含天，为天之函数”。 康托尔 1845－1918 德国数学家 李善兰 1811－1882 清代数学家 复习引入 在初中，我们学习了哪些重要的函数类型？ 一次函数 一元二次函数 反比例函数 x y O x y O x y O x0 y0 x0 y0 x0 y0 函数的基本特征： 对于每一个 x 的取值，都有唯一确定的 y 值和它对应. 情境导入 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m, 且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是 时间 t 的变化范围是数集 高度 h 的变化范围是数集 数集A中的任意一个时间t，按照对应关系 ，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应. 情境导入 下图是2012—2021年我国城镇居民恩格尔系数变化情况： 时间（年） 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数（%） 32 30.1 30 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 数集 A 中的任意一个时间，按照表格，在数集 B 中都有唯一确定的系数和它对应. 你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？ 以上两个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？ （1）都有两个非空数集 A，B； （2）两个数集间都有一种确定的对应关系； （3）对于数集 A 中的任意一个数，数集 B中都有唯一确定的数和它对应. 函数的定义 给定实数集 R 中的两个非空数集 A 和 B ,如果存在一个对应关系 f ,使对于集合 A 中的每一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就把对应关系 f 称为定义在集合 A 上的一个函数， 记作 y = f (x)，x∈A. 其中集合 A 称为函数的定义域，x 称为自变量. 与 x 值对应的 y 值称为函数值. 集合 称为函数的值域. 思考： 集合 B 与函数值域的关系？ 函数的三要素 定义域、对应关系、值域 （1）定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围. 比如， 的定义域为 特别地，若涉及实际问题，函数的定义域还必须使得实际问题有意义. 如描述弹簧的伸长量 x 与弹力 y 的函数 ，由于自变量 x 是伸长量，定义域就不可能包含负数了. 函数的三要素 定义域、对应关系、值域 （3）值域是全体函数值组成的集合. （2）对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程. 比如， 与 是同一个函数. 用 表示函数 当 时的函数值.例如，对于函数 来说， ，其中 84 就是函数 当 时的函数值 . 例 1 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1） （2） （3） （4） （1）因为 的定义域是 R ， 的定义域是 ， 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； 解 （2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； （3）因为 的定义域是 ， 的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （4） 和 虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数. 定义域 对应关系 决定 值域 函数的 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称它们是同一函数. （2）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数 非负，且分式的分母不为 0， 即 ，解得 . （3）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负， 解 例 2 求下列函数的定义域： （1） （2） （3） （1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母 不为零， 即 解得 所以函数 的定义域是 ； 即 解得 所以函数 的定义域是 ； 所以函数 的定义域是 （3） f (x) 为偶次根式型函数 ... ...
