专题07 勾股定理压轴题综合练（几何问题探究，25题）（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 勾股定理压轴题综合练（几何问题探究，25题）（解析版） 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设为为为，图2中的余角为， 是等腰三角形， ， , , ,, , 设为， 根据勾股定理得， 解得∶， 故选D． 2．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、， 点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 3．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知等边的边长为4，点分别在边上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识．作于点，作射线，由等边三角形的性质可证明，再由，，证明，推导出，进而证明，得，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点，可证明点与点关于直线对称，则，由，得，根据勾股定理计算得到问题的答案． 【详解】解：作于点，作射线，则， 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24八年级·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，为等腰直角三角形，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可设，则，从而得到，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 5．（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知等边的面积是，边长是4，平分交与点． （1）若点为边中点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ； （2）若点为边任意一点，在上是否存在点，使最小？最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及动点最值问题-两点之间线段最短模型、动点最值问题-点线模型，熟练掌握动点最值问题的两个模型是解决问题的关键． （1）本题考查动点最值问题-两点之间线段最短模型，连接，与的交点为，使最小，最小值为，如图所示，由等腰三角形性质及勾股定理求出即可得到答案； （2）本题考查动点最值问题-点线模型，先由等腰三角形性质得到关于对称，由点到直线的距 ... ...