RJ数学八下专题课堂(九) 平行四边形中的折叠问题（含答案）

RJ数学八下专题课堂(九)　平行四边形中的折叠问题 一、平行四边形的折叠 【例1】如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1＝56°，∠ABC＝70°，求∠2的度数． 分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，然后由三角形的外角性质求得 ∠ABD＝∠CDB＝28°，由平行四边形对边平行求得 ∠A＝110°，最后由三角形内角和定理即可求出 ∠2的度数. 【对应训练】 1.如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为(　　) A.102° B.112° C.122° D.92° 2.【2023·宜昌】如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A'处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 . 3．如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD.FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为 ． 4．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝，∠DAB＝45°，AB＝3，如果把该平行四边形折叠，点A恰好与点C重合，求折痕EF的长． 二、矩形的折叠 【例2】如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O，若AE＝5，BF＝3，求AC的长． 分析：先由平行四边形的性质和折叠的性质求得AE＝AF＝5，再由折叠得FC＝AF，最后由勾股定理即可求出 AC的长． 【对应训练】 5．如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为(　　) A.－2 B.－1 C. D. 6．【2023·牡丹江】在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②. 根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是( ) A．3 B． C．2 D．1 7．如图，将长、宽分别为12 cm，3 cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)的面积为(　　) A．(36－6 ) cm2 B．(36－12 ) cm2 C．24 cm2 D．36 cm2 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，求图中阴影部分的面积． 9．如图，将一张矩形纸片ABCD先沿着BE折叠，使点A刚好落在CD边上点G处，再沿着BF折叠(其中点F为CG上的一点)，使点C恰好落在BG上点H处，连接AG，若S△BCF∶S△BGF＝3∶5，AB＝15，求AG的长． 10.（1）将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，如图①.求证：四边形AEA'D是正方形； （2）将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，如图②.线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由. 三、菱形的折叠 【例3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G(不与B，D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，求BE的长． 分析：由菱形的性质易知△ABD为等边三角形，从而得到AB＝BD＝8，由折叠的性质可知，EG＝EA，作EH⊥BD于H，设BE＝x，根据勾股定理列方程求出x即可． 【对应训练】 11．如图，将菱形ABCD的边AD以直线AN为对称轴翻折至AM，使点C恰好落在AM上.若此时CM＝CN，则∠D的度数为(　　) A．30° B．54° C．45° D．36° 12．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，若EG⊥AC，则FG的长为(　　) A．3 B．6 C．3 D．3 13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，将菱形沿EF ... ...