解三角形中的中线、垂线、角平分线-解答题训练 (原卷版+解析版)

解三角形中的中线、垂线、角平分线 常见考点 考点一 中线问题 典例1．△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若△ABC的周长为，求边上中线的长度． 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案； （2）设，根据三角形的周长可求得，再在中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1） 解：因为， 所以由正弦定理边角互化得：， 因为， 所以，所以 因为，所以，， 所以，即， 所以 （2） 解：由（1）得△ABC为等腰三角形，设， 故，代入数据解得：， 因为△ABC的周长为，所以，解得， 所以,, 在中，， 所以，解得， 所以边上中线的长度为. 变式1-1．已知△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求的大小； （2）若△ABC的面积为，求边上中线的长度. 【答案】 （1）. （2）. 【分析】 （1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案； （2）设，根据三角形的面积公式可求得，再在中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1） 解：由正弦定理得，，R为外接圆半径且 ，，， 因为，所以，所以，得， 所以，又，则，所以，得，所以； （2） 解：由（1）得△ABC为等腰三角形，设， 则，解得，则，在中，，所以，解得， 所以边上中线的长度为. 变式1-2．在△ABC中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求的中线长度的最小值. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得结果； （2）由题意可得，即，结合余弦定理及均值不等式可得结果. （1） 因为， 所以， 即， 整理得， 因为，为三角形内角，所以，，所以，， 所以，即， 又因为，所以； （2） 因为，所以， 整理得， 在三角形中，由余弦定理得. 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以，即， 即长度的最小值为. 变式1-3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点. （1）求A的值； （2）若a＝，求中线AM长度的最大值. 【答案】 （1）； （2） 【分析】 （1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b＝acos C＋csin A即得解； （2）由余弦定理和基本不等式得b2＋c2≤6，由已知得＝，平方后利用基本不等式即得解. （1） 解：因为b＝acos C＋csin A， 根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以cos Asin C＝sin Csin A. 因为sin C≠0，所以tan A＝. 又0＜A＜π，所以A＝. （2） 解：在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3. 因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号， 所以b2＋c2≤6. 因为AM是BC边上的中线， 所以＝，两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝， 当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值. 考点二 垂线问题 典例2．设△ABC的内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若边上的高为，求． 【答案】 （1）； （2）. 【分析】 （1）利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解. （1） 解：由余弦定理，得， 所以，， 所以，， 又因为，所以，，则， ，因此，. （2） 解：因为的面积，则， 由余弦定理，得， 所以，， 所以，. 变式2-1．在△ABC中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角. （2）若，求边上的高. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）根据正弦定理边化角得，进而得，故； （2）由余弦定理得，再根据等面积法求解即可. （1） 解：由题知，， 由正弦定理知，， 即. 又，且. 所以， 由于. 所以. （2） 解：由余弦定理得：，解得. 又，， 所以. 变式2-2．在△ABC中 ... ...