解析几何中的存在性与探究性问题 常见考点 考点一 存在性问题 典例1．已知椭圆：的右焦点在直线上，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点A的直线与椭圆交于另一点（异于点），与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先把代入直线方程，求出，根据离心率和求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，求出点P的坐标，表达出直线的斜率，再使用二倍角公式及直线NF的斜率表达出直线的斜率，从而得到等式，求出，得到的关系，得到的值. (1) 因为右焦点在直线上，所以 所以椭圆的方程为 (2) 存在，，理由如下： 因为，设. 显然. 可设直线的方程为， 因为点在这条直线上，则 联立，得的两根为， 设 则 ， 因为，所以. 故存在常数，使得 【点睛】 对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案. 变式1-1．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)且； (2)存在，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意. （2）设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求坐标，进而应用表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解. (1) 设，则且， 所以M的轨迹为曲线C方程为且. (2) 设，则直线AM为， 联立曲线C得：，整理得：， 由题设知：，则，故， 又，， 所以，即， 所以存在，使. 变式1-2．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆的离心率等于，抛物线的准线经过椭圆的一个焦点.椭圆与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是椭圆上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【解析】 【分析】 （1）根据题意可求得c,再根据椭圆的离心率列出方程，即可求得答案; （2）设直线的方程为，联立椭圆方程求得M点坐标，进而得E,T点坐标，由此可写出向量，，的坐标，利用向量的夹角公式可证明，从而证明结论. (1) 设椭圆的方程为，由抛物线的准线经过椭圆的一个焦点,得. 根据已知得，解方程组得, ∴椭圆的方程为. (2) 存在，使的纵坐标为0，且的取值范围为. 由已知得，，，直线的方程为. 由,得, ∴. 由已知得，解得, ∴,∴. 解,得.∴, 由的中点为，得, ∴，，, ∵， ， ∴, 又∵，，∴, ∴，即平分. ∴直线与直线关于直线对称. ∴点在直线上，即点在轴上，其纵坐标为0， ∴，的纵坐标为0. 【点睛】 本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆的位置关系，涉及到点的对称点问题，综合性较强，对计算能力有较高要求，解答的关键是第二问中通过向量的夹角公式证明角相等，从而证明点的对称点问题，有一定难度. 变式1-3．在平面直角坐标系中，已知，，.动点与，的距离的和等于18，动点满足.动点的轨迹与轴交于，两点，的横坐标小于的横坐标，是动点的轨迹上异于，的动点，直线与直线交于点，设直线的斜率为，的中点为，点关于直线的对称点为. (1)求动点的轨迹方程； (2)是否存在，使的纵坐标为0？若存在，求出使的纵坐标为0的所有的值；若不存在，请说明理由. 【 ... ...
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