立体几何中的最值问题 常见考点 考点一 最大值问题 典例1．如图，在中，，，为的外心，平面，且. (1)求证：平面； (2)设平面面，若点在线段（不含端点）上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 (1) 如图，连接，交于点，为的外心， 所以，又因为，所以， 所以， 故和都为等边三角形，可得， 即四边形为菱形，所以； 又平面、平面， 所以平面， (2) 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以. 如图，以点为原点，分别以，所在的直线为，轴，过点垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，. 因为点在线段不含端点）上运动，所以，设， 所以，设平面的法向量为， 则 可得：，令可得，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 即当时直线与平面所成角取最大值. 此时，所以，， 设平面的法向量为， 则，令，，， 所以，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，则二面角的正弦值为. 变式1-1．如图，在正三棱柱中，，点D在边BC上，E为的中点. (1)如果D为BC的中点，求证：平面平面； (2)设锐二面角的平面角为，，，当取何值时，取得最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）利用几何法证明，若要证明面面平行，只要证明其中一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面即可； （2）建立如图所示空间直角坐标系，利用法向量来求二面角的大小即可得解. (1) 证明：在正三棱柱中， 因为D，E分别为BC，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理可证平面， ，，平面，所以平面平面； (2) 以A为坐标原点，方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即 令，得，，所以， 由，，得， 设平面的法向量为，即 令，得，，所以， 由，得， 因为锐二面角的平面角为， 所以， 令，则，故， 所以， 令，则在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，此时，即点D与点B重合时，取得最大值. 变式1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中点． (1)求证：平面SCD； (2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值； (3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面SCD. （2）利用向量法求得平面SCD与平面SAB所成的角的余弦值. （3）设出点的坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的最大值. (1) 底面ABCD，所以， 由于，所以两两垂直， 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，． 设平面SCD的法向量为， 则，， 令，得是平面SCD的一个法向量． ，， 平面， 平面SCD． (2) 平面SAB的一个法向量为， 设平面SCD与平面SAB的夹角为， 则 平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为． (3) 由题可设， 则． 平面SAB的一个法向量为， ， 当，即时，取得最大值，最大值为． 变式1-3．如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点. (1)证明：； (2)若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解. (1) 如图，连接SO和OE， 因为是正四棱锥，所以平面ABCD， 又因为平面ABCD，所以 因为ABCD是正方形，所以， 又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥， 所以 又因为，OE、平面SOE， 所以平面SOE， 因为平面SOE，所以. (2) 易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
