利用导数处理极值点偏移问题 常见考点 考点一 极值点偏移问题 典例1．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的零点个数； (3)若有两个零点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导，根据几何意义求解即可； （2）根据题意得，单调递减，，单调递增，故，再根据和讨论函数值的分布求解即可； （3）结合（2）得，，，使得，进而将问题转化为证明，再根据在上单调递减只需转化为证，再结合证明，再构造函数，再研究函数的单调性得在上恒成立，进而证明. (1) 解：求导得， 所以，， 故切线方程是：； (2) 解：由已知，， 所以当，，单调递减， ，，单调递增， ， 当时，趋近于时，函数趋近于，且，趋近于时，函数趋近于，此时函数只有一个零点， 当时，当趋近于时，函数趋近于，趋近于时，函数趋近于，此时函数有2个零点； (3) 解：由（2）知，，，使得， ，要证，即证， ，， 又且在上单调递减， 需证，即证， ， 即证， 故令，即， ∴， ∵时，，所以，即， ∴函数在上单调递增， ∵，∴在上恒成立， ，得证， ． 【点睛】 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第三问解题的关键在于结合极值点偏移问题，将问题转化为证明，，进而构造函数，研究函数的单调性证明. 变式1-1．已知函数，. (1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值； (2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，. （i）求实数a的取值范围； （ii）当时，证明：. 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用切线方程可得，，即可求； （2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，设，得，通过分类讨论参数，可求a的取值范围； （ii）证法不唯一，可设，由转化得，要证即证，令，通过构造，，结合即可求证；证法二方法类同于一，可作参考. (1) 因为，则， 又，所以在点处的切线方程为，即， 又该切线为，则且，所以； (2) （i）函数定义域为， 因为函数在内有两个不同的极值点，， 即等价于函数在内有两个不同的零点，. 设，由， 当时，，在上单调递增，至多只有一个零点； 当时，在上，单调递增； 在上，单调递减， 所以，当时，， 函数有两个零点，则必有， 即，解得， 又， 易证，证明如下： 令，， 当时，，单减，当时，单增， 故，故，得证. ，所以在和上各有一个零点， 故有两个零点时，a的范围为； （ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设， 由且，得. 因为 令，则， 记，， 由，令，. 又，则，即， 所以在上单调递增，故，即成立. 所以不等式成立. 法2：欲证，由，，则只需证：. 不妨设，则且， 则， 所以 令，则， 记，， 由，即在上单调递增， 故，即成立. 故. 【点睛】 本题考查由切线方程求参数，由函数极值点个数求参数范围，函数不等式恒成立的证明，难度较大.对于含参极值点个数判断问题，需对参数进行分类讨论，将问题细化，才能进一步确定参数范围.不等式恒成立证明往往需要将所求问题等价转化，构造新函数，借鉴放缩法进行证明，本题中令，代换成对数函数证明的方法，往往用于处理零点（极值点）不等式问题，需要多多积累，方能游刃有余. 变式1-2．已知函数. (1)证明：在上为增函数； (2)若，，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由题可知，利用导数可求最小值，即证； （2）由题可得，要证，只需证，，构造函数，利用导数即证. (1) 由题意，， 令，则，令，则， 故在区间上，，为减函数； 在区间上，，为增函数， ∴， 故，故在上为增函数. (2) 由（1）知为增函数，且，故由，， 可得，则. 欲证 ... ...
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