利用导数处理双变量问题 常见考点 考点一 双变量问题 典例1．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）已知为函数的两个极值点，求的最大值． 【答案】（1）在和单调递增，单调递减；（2）. 【解析】 【分析】 （1）当时，求出导函数，利用导数求单调区间； （2）先由为函数的两个极值点，得到，令，则由，求出； 对于换元后得到利用导数判断单调性，求出最大值即可. 【详解】 定义域为. （1）当时， 令， 当时，； 当时，， ∴在和单调递增，单调递减． （2）由题得， 因为为函数的两个极值点，则为方程的两个实根，∴，所以 ∴，∴， 所以令，则有，∴，∴ 对于， 令则 当时，有；当，有， 所以在为增函数，时为减函数，所以 所以y有最大值为． 【点睛】 （1）函数的单调性与导数的关系： 已知函数在某个区间内可导，①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；②函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有； （2）对二元变量类问题常见的处理方法：①变量分离，构造同构的形式，构造新函数；②整体换元，建立新函数. 变式1-1．已知函数（为常数）. （1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）求出，解不等式即得解； （2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解. 【详解】 （1）∵， ∴只要，即时恒成立，在定义域上单调递增. （2）由（1）知有两个极值点则， 的二根为， 则，， ， 设，又，∴. 则，， ∴在递增，. 即的范围是. 【点睛】 方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答. 变式1-2．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程； （2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解. 【详解】 （1）由题意知，因为， 所以，， 所以所求切线方程为，即； （2）由（1）知， 因为是的两个不同的极值点， 所以，是方程的两个根，可得，，， 易得，所以 ， ，， ，因为可得， 所以，在单调递减， ， 所以在上单调递减，， 从而的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是 （1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）； （2）由点斜式求得切线方程. 变式1-3．已知函数有两个零点，. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）写出函数定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使有两个零点，只需最大值即可. （2）函数有两个零点，，可得，两式相减得， 欲证，即证，设，构造函数，通过函数的单调性即可得到证明. 【详解】 （1）函数定义域为，. 令得，可得在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 故欲使有两个零点，只需，即. （2）证明：不妨设，则由（1）可知， 且，两式相减可得. 欲证，即证， 设，则即证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，故， 所以，原不等式得证. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题. 典例2．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值； （3）若存在，使得，证明：. 【答案】（1）增区间为，减区间为； （2）；（3）见 ... ...
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