数列中的新定义问题 常见考点 考点一 “取整与取最值”数列 典例1．在①，；②公差为2，且，，成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，_____． (1)求数列的通项公式； (2)令，其中表示不超过x的最大整数，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】 【分析】 选① （1）由等差数列的前项和公式列方程组解得和后可得通项公式； （2）根据定义求出，然后求和． 选② （1）由等差数列的前项和公式结合等比数列性质求得后可得通项公式； （2）根据定义求出，然后求和． 选③ （1）利用和求得通项公式； （2）根据定义求出，然后求和． (1) 选①：设的公差为d，则 由已知可得，解得， 故的通项公式为 选②：因为，，， 由题意得，解得， 所以的通项公式为 选③：当时， 当时，，符合 所以的通项公式为 (2) 选① 由知，， 所以 选② 由知 所以 选③ 由知 所以 变式1-1．已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如 (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前项和 (3)求数列的项和. 【答案】(1)； (2)=； (3). 【解析】 【分析】 （1）由，可知当时，，再利用，即可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，=，再利用裂项相消法即可求出； （3）由（1）知，结合题意可求出，，，，即可求出数列的项和. (1) 解：，① 当时，，② 由①-②得， 当时，，满足上式， 数列的通项公式为：. (2) 解：由（1）知，=， 所以数列{}前项和为： ==. (3) 解：由（1）知， ， 由于在上单调递增，且 ，， ，， 数列的前500项和为：. 变式1-2．已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值. 【答案】(1) (2)9 【解析】 【分析】 (1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可. (1) 不妨设等差数列的公差为， 故，， 解得，， 从而， 即的通项公式为. (2) 由题意可知，， 所以， 故 ， 因为当时，；当时，， 所以， 由可知，， 即，解得， 即的值为9. 变式1-3．已知等比数列的各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，表示a与b的最大值，记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)根据题意，令，列出方程组，解方程组可得公比，进而求出首项，利用等比数列的定义即可求出通项公式； (2)由(1)，根据等比数列前n项求和公式求出，可得，根据题意给的定义求得所以，再次利用等比数列前n项求和公式计算即可. (1) 设的公比为． 由，得 ②÷①，得，结合，解得．将代入①，解得， 所以数列的通项公式为． (2) 由（1），，则， 从而当时，；当时，，所以． 当时， ． 综上，． 考点二 “新定义”数列 典例2．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，． (1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【解析】 【分析】 （1）由，，相减得，即可得到答案； （2）对当分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案； (1) 由，，相减得， 所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”， 由，，得， 所以． (2) 由，，得， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 综上所述， 变式2-1．设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”. (1)若数列的前n项和，证明：是“数列” ... ...
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