【专题训练】2023-2024浙教版八年级下册数学专题5.13 四边形中线段最值问题专练（15道）（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】 专题5.13 四边形中线段最值问题专练（15道） 解答题（本卷共15道，总分60分） 1．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值_____． 【答案】(1)见解析(2)2(3) 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）延长到，使得，连接， ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 2．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． (1)求点A的坐标； (2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：． ，， 解得，， 点的坐标为； （2）①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接， ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ， ∴； ②取的中点，连接，． ，点是的中点， ． ， ， ， 由中点坐标可知：点的坐标为， ， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值， ，， ， 的最大值． 故答案为：． 3．如图，正方形中，点P是线段上的动点． (1)当交于E时， ①如图1，求证：． ②如图2，连接交于点O，交于点F，试探究线段、、之间用等号连接的数量关系，并说明理由； (2)如图3，已知M为的中点，为对角线上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，的最小值为，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1） 解：①如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，，理由是： ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 如图，连接交于点O， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，， ∴当点P与点O重合时，的最小值为， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴当点P与点O重合时，，如图， ∴， ∵M为中点， ∴Q为中点， ∴． 4．如图，在平行四边形中，，P是射线上一点，连接，沿将折叠，得． (1)如图1所示，当时，=_____度； (2)如图2所示，当时，求线段的长度； (3)当点P为中点时，点F是边上不与点A，B重合的一个动点，将沿折叠，得到，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)85；(2)；(3) 【详解】（1）如图1中， ∵， ∴， 由翻折的性质可知：． 故答案为85． （2）如图2中，作于H． 在Rt中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3中，作于H，连接． ∵， ∴， ∵， ∴＝＝， 由翻折可知：， ∴的周长＝， ∴当的长度最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 5．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． (1)取的中点，连接，，求的值． (2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：根据题意可知：， 的中点， ， ， ， ． （2） 解：如图，取的中点E，连接，，， 在中，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 当、、共线时，， 点P到原点的最大距离是． 6．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)， ... ...