2024年中考二轮复习讲练测（全国通用）专题14 二次函数与几何压轴（原卷版+解析版）

专题14 二次函数与几何压轴 目 录 题型01 三角形面积问题 类型一 利用铅垂高计算三角形面积 类型二 面积比值问题 类型三 面积存在性问题 类型四 面积最值问题 题型02 线段相关问题 类型一 线段和最值问题 类型二 线段差最小问题 类型三 周长最值 题型03 存在性问题 类型一 平行四边形存在性问题 类型二 矩形存在性问题 类型三 菱形存在性问题 类型四 正方形存在性问题 类型五 等腰三角形存在性问题 类型六 直角三角形存在性问题 类型七 相似三角形存在性问题 类型八 等角存在性问题 类型九 二倍角、半角存在性问题 类型十 特殊角存在性问题 类型十一 线段存在性 （时间：60分钟） 题型01 三角形面积问题 类型一 利用铅垂高计算三角形面积 1．（2023·山东青岛·一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线、，、之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交于点D，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高； 结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“”． 尝试应用： 已知：如图2，点、、，则的水平宽为_____，铅垂高为_____，所以的面积为_____． 学以致用： 如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，为的铅垂高，延长交x轴于点F，则顶点B坐标为_____，铅垂高_____，的面积为_____． 2．（2024·山西晋城·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 面积比值问题 3．（2023·辽宁大连·二模）平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． (1)点A的坐标是_____； (2)如图，求面积与面积的比值； (3)在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 4．（2021·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点O和点A，截得的抛物线弓形的曲线上有一点P． （Ⅰ）当时，解答下列问题： ①求A点的坐标； ②连接，，求面积的最大值； ③当的面积最大时，直线也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点，连接，，当的面积最大时，求这个的最大面积与②中的最大面积的比值； （Ⅱ）将（Ⅰ）中的条件去掉后，其它条件不变，则的最大面积与的最大面积的比值是否变化？请说明理由． 5．（2021·江苏盐城·二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝x． 【概念与理解】 将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____；C2：_____． 【猜想与证明】 在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示． （1）填空： ... ...