湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

湖南省衡阳县第一中学2023-2024年下学期高二期中考试 数学试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则（ ） A． B． C．4 D．12 2．已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A．4 B．8 C．0 D．-8 3．设数列的前项之积为，满足（），则（ ） A． B． C． D． 4．若，则（ ） A． B．40 C．41 D．82 5．已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2 6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A． B． C． D． 7．已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 8．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（ ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 10．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ） A． B． C． D． 11．质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ） A．事件、、两两互斥 B．事件与事件对立 C． D．事件、、两两独立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12．已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 . 13．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 14．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 四、解答题解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）（12分）在中，分别是角的对边，且满足． (1)求角的大小； (2)若为的中点且，求的面积． 16．（15分）如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且. (1)证明：平面. (2)求平面与平面的夹角余弦值. 17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 18．（17分）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 19．（17分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 数学答案 1．【答案】B 【解析】由复数满足，可得， 则. 故选：B. 2．【答案】B 【解析】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点， 根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以， 又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以， ． 则． 故选：B． 3．【答案】C 【解析】因 ... ...