厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考 数学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数 （其中为虚数单位对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．已知向量，，，若，则( ) A. B. C. D. 3.如图，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若则等于( ) A. B. C. D. 4.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该棱台的体积是( ) A. B. C. D. 5.若向量，且，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 6．在中， BC边上的高等于则( ) A. B. C. D. 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于非零向量，下列命题正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( ) A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 11．在中，角，，所对的边分别为，，，且若有唯一解，则的值可以是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，，则与的夹角为 13．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 第13题图 第14题图 在九章算术中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为 ． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分13分） 已知复数，复数在复平面内对应的向量为， （1）若为纯虚数，求值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． 求的大小； 若且是边的中线，求的长度． （本小题满分15分） 如图，在四边形中，，，，且． 用，表示； 点在线段上，且求的值． （本小题满分17分） 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面； 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． （本小题满分17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，且 Ⅰ求的大小； Ⅱ若求的面积； Ⅲ求的最大值． 厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考 数学科参考答案及评分标准 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B A C D A A 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BD ABC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 300 14． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题15分，18~19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】：由题，则，--2分 由为纯虚数得，，--4分 解得．--6分 （2），--8分 在复平面内的对应点在第四象限，则，即，--11分 解得．--13分 【解析】：因为， 可得，--1分 所以由正弦定理可 ... ...
