2024年中考数学高频考点专题复习：圆与三角形的综合（圆的综合问题）（含答案）

2024年中考数学高频考点专题复习： 圆与三角形的综合（圆的综合问题） 1．已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接． (1)求证：； (2)当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形； (3)过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：． 2．已知：为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交的延长线于点的平分线分别交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，如果是的中点，且，求线段的长． 3．如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积． 4．已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接． (1)如图，当的延长线经过点时，求的值； (2)如图，作，垂足为点，连接． 试判断与的大小关系，并证明你的结论； 当是等腰三角形，且，求的值． 5．如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求． 6．如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M． (1)求证：是的切线； (2)若，求，的长． 7．如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为． (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 8．如图，四边形内接于，为的直径，，过点D的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当时，求的长． 9．如图，矩形中，，．E是的中点，以为直径的与交于F，过F作于G． (1)求证：是的切线． (2)求的值． 10．如图，是的直径，直线与相切于点，且，为上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 11．已知：在中，弦与弦交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为上一点，且，连接交于点，求证：为中点； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，交于点，垂足为，连接，若，求的长． 12．已知：在中，四边形的边与相切于点A，点B，C在上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点E，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，交于点G，交于点K，点M为的中点，连接，，若，，求四边形的面积． 13．已知：是的外接圆，的平分线交于点D，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的直径，过点A作，垂足为点E，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接分别交，于点G，H，若，，求线段的长． 14．如图，内接于，为直径，D为圆周上的点，弦交于E，连接，作，垂足为F． (1)求证：． (2)当，，时， ①求的长． ②直接写出_____． 15．在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接，． (1)如图1，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是_____； (2)如图2，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值及此时线段的长． 参考答案： 1．（1）解：连接、，则， ∴. ∵，，， ∴. ∴. 又∵， ∴. 又∵，， ∴. ∴. （2）∵， ∴. 又∵， ∴. ∴. 又∵， ∴. ∴. 又∵与不平行， ∴四边形是梯形. 又∵， ∴. 又∵， ∴， ∴梯形是等腰梯形. （3）分别过作，交于；过点作，交于. 过点作，过点作垂足分别为、. 又 ∵， ∴. 又 ∵， ∴. ∴. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. 同理 ，. ∴. 又∵， ∴. ∴. 又∵， ∴， ∴. 2．（1）证明：如图1，连接． 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图2，是的直径， ... ...