南菁高中实验班2023-2024学年第二学期高一期中（数学）试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记数列的前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ） A. 14 B. 23 C. 32 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出数列的通项，从而求出，再利用与的关系即可求得． 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 2. 已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为圆心到直线的距离问题，即可列式求解. 【详解】圆，化简为标准方程为， 则圆的圆心为，半径， 若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离，, 即，得或 故选：D 3. 抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为， 不妨取，设，， 解得或，或. 故选：D 4. 等差数列中，，，是数列的前项和，则（ ） A. B. 是中的最大项 C. 是中的最小项 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可得到通项公式，从而判断A、D，说明的单调性，即可判断B、C. 【详解】设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以， 则，故A错误； 令，解得，又，且单调递减， 所以，所以是中的最大项，故B错误； 又单调递减，所以不是中的最小项且中不存在最小项，故C错误； 因为，， 所以，故D正确. 故选：D 5. 已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】由题意知数列满足， 当时，； 当时，， 故，则， 也适合该式，故， 则， 故的前2022项和为 ， 故选：B 6. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案. 【详解】由题意知两条动直线和交于点， 联立直线方程消去m可得， 由于，即， 该直线过定点，但不会过点， 故P点轨迹方程为（去掉点）， 圆心为，半径为； 上两点，间的距离为， Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为， 则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为； 由于与圆的圆心距满足， 故这两圆外离， 则的最小值为， 故选：B 7. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果. 【详解】 不妨设点为第一象限的交点，则 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 所以， 因此，即， 所以，即，令 因此，其中， 所以当时，有最大值，最大值， 故选：B. 【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求 ... ...
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