湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）(含解析)

数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（ ） A．91.5 B．93 C．93.5 D．94 2．已知集合，，则（ ） A．{2，3} B．{1，2，3} C． D． 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．圆心为（2，1），且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（ ） A．2 B．4 C． D． 5．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径也为l的球的表面积相等，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则点A到边BC的距离为（ ） A． B． C． D． 7．定义域均为R的函数，满足，且，则（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 8．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段BD，，上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某次数学考试满分150分，记X，Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（ ） A．甲班的平均分低于乙班的平均分 B．甲班的极差大于乙班的极差 C．成绩在[100，110]的人数占比乙班更高 D．成绩在[90，100]的人数占比甲班更高 10．设，则（ ） A． B． C． D． 11．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若，则C的离心率等于（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则_____． 13．已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为_____． 14．已知函数．设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则k的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求C的方程； （2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积． 16．（15分） 如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，E为PB的中点． （1）证明：平面PAC； （2）若F为AB的中点，求二面角的大小． 17．（15分） 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖．抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球． （1）当时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望； （2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%，求n的最大值． 18．（17分） 对于数列，及常数p，若满足，且，则称对关于p耦合． （1）若对关于0耦合，且，，求； （2）若对关于1耦合，且，求，的通项公式； （3）若存在，，使得对关于耦合，且对关于耦合，证明：，． 19．（17分） “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现． 假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上， ... ...