2023-2024 学年北京市一六六中学高二数学期中考试答案 1-5 CBDAA 6-10 BCDCD 11、 -5 12、（0，e-1） 13、-1 （a≤0 即可） 14、36 15、 ①④ 16、（1）平均分为 69； （2）分布列见解析，数学期望为 ． 【解答】解：（1）男生打的平均分为： ， 观察茎叶图可知女生打分比较集中，男生打分比较分散，故 ． （2）因为打分在 80 分以上的有 3 女 2 男， 所以 X的可能取值为 1，2，3， ， ， ， 所以 X的分布列为： X 1 2 3 P ． 17、（1）﹣2； （2）当 时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间； 当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； 当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝lnx+x2﹣3x， ， 当 或 x＞1 时，f′（x）＞0，当 时，f′（x）＜0， 所以函数 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 f（x）的极小值为 f（1）＝﹣2； （2） ， 第1页/共6页 令 f′（x）＝0，得 ， 当 时，f′（x）≥0，则函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当 时，0＜x＜a或 时，f′（x）＞0， 时，f′（x）＜0， 所以 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 或 x＞a时，f′（x）＞0， 时，f′（x）＜0， 所以 f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 综上所述，当 时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间； 当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； 当 时，f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ； （3）证明：由（2）得当 时， f（x）在 上单调递增，在 上单调递减， 则函数 f（x）的极大值为 f（a）＝alna﹣a2﹣a＝a（lna﹣a﹣1）， 极小值为 ， 令 ，则 ， 所以 g（x）在 上单调递增， 所以 ， 所以当 时，f（a）＝a（lna﹣a﹣1）＜0， 又当 x→0 时，f（x）→﹣∞，当 x→+∞时，f（x）→+∞， 如图，作出函数 f（x）的大致图象， 第2页/共6页 由图可得函数 f（x）有且仅有一个零点． 18、（1） ； （2）分布列见解析，期望 ； （3）青年人． 【解答】解：（1）设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为 A， 样本总人数为 500 人，其中对酸奶满意人数为 100+120+150＝370 人， 所以 ； （2）用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率 ， X的取值为 0，1，2，3， ， ， ， ， ， 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望是 ． （3）青年人， 青年人总体人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以鲜奶的满意度提高 0.1，则人数提高最多，则整体对 鲜奶的满意度会大幅提高． 19、见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）由题意 ， 解得： ， ， 第3页/共6页 故椭圆 C的标准方程为 ； （Ⅱ）根据题意，假设直线 TP或 TQ的斜率不存在，则 P点或 Q点的坐标为（2，﹣1）， 直线 l的方程为 ，即 ． 联立方程 ，得 x2﹣4x+4＝0， 此时，直线 l与椭圆 C相切，不合题意． 故直线 TP和 TQ的斜率存在． 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则直线 ， 直线 故 ， 由直线 ，设直线 （t≠0） 联立方程， 当Δ＞0 时，x1+x2＝﹣2t， ， |OM|+|ON|＝ ＝ ＝ ＝ ＝4． 第4页/共6页 20、（Ⅰ）2+2e； （Ⅱ）f（x）在（﹣1，0）上单调递减，（﹣∞，﹣1）上单调递增； （Ⅲ）﹣ ． 【解答】解：（Ⅰ） ＝x+lnx+xex， f'（x）＝1+ +（x+1）ex， f'（1）＝2+2e． 所以曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为 2+2e． （Ⅱ）f（x）＝x+ln（﹣x）﹣xex的定义域为（﹣∞，0）， f'（x）＝1+ ﹣（x+1）ex＝（1+x）（ ﹣ex）， 当 x＜﹣1 时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜0 时，f'（x）＜0， 所以 f（x）在（﹣1，0）上单调递减，（﹣∞，﹣1）上单调递增． （Ⅲ）若 a＞0 时，函数 的值域为 R，不合题意； 所以 a＜0，f（x）的定义域为（﹣∞，0）， f'（x）＝1+ + （x ... ...
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