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课件网) 概率论与数理统计 x3: 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 1 条件概率的概念和性质 2 乘法公式 3 全概率公式与贝叶斯公式 x3: 条件概率 x3: 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 定义 设A; B是两个事件, 且P(B) > 0, 称比值 为在事件B发生的 条件下事件A发生的条件概率, 记作P(AjB), 即 P(AjB) = : (1) 条件概率的概念和性质 x3: 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 (1) 我们以古典概型来理解条件概率定义中(1)式的意义. 假设试 验的基本事件总数为nJ B所包含的基本事件数为m (m > 0)J AB所 包含的基本事件数为kJ 由于已知事件B发生了J 故在再考虑事 件A发生的概率时J 所有可能的结果一般不再是SJ 而是B中的结 果J 导致A发生的结果一定来源于B. 根据古典概型中事件概率的 计算知P(AjB) = . 显然此时有 P(AjB) = = = ; 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 (3) 特别地, 若作为条件的事件B = S, 则 P(AjS) = = P(A), 对应于条件概率的名称, 我们将前面讨论的概率可以称为无条件 概率; 条件概率概念的理解 (2) 定义中条件P(B) > 0等价于P(B) 0, 使得(1)式有意义; 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 (3) 特别地, 若作为条件的事件B = S, 则 P(AjS) = = P(A), 对应于条件概率的名称, 我们将前面讨论的概率可以称为无条件 概率; 条件概率概念的理解 (2) 定义中条件P(B) > 0等价于P(B) 0, 使得(1)式有意义; 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 (i) 非负性 对任何事件A, 由P(AB) ≥ 0, P(B) > 0, 得P(A|B) = ≥ 0; (ii) 规范性 P(S|B) = = = 1; (4) 集合函数P( · |B)是概率, 事实上该集合函数满足概率公理化 定义的如下三个条件: 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 (i) 非负性 对任何事件A, 由P(AB) ≥ 0, P(B) > 0, 得P(A|B) = ≥ 0; (ii) 规范性 P(S|B) = = = 1; (4) 集合函数P( · |B)是概率, 事实上该集合函数满足概率公理化 定义的如下三个条件: 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 (i) 非负性 对任何事件A, 由P(AB) ≥ 0, P(B) > 0, 得P(A|B) = ≥ 0; (ii) 规范性 P(S|B) = = = 1; (4) 集合函数P( · |B)是概率, 事实上该集合函数满足概率公理化 定义的如下三个条件: 条件概率的概念和性质 x3 . 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 (iii) 可列可加性 设A1 ; A2 ; · · · 是一列两两互不相容的事件, 则 P( AijB) = i = i = = P(AijB): B) ) \ (B A i P P( B)) P( \ B) P(( ) \ (B A i P ( ) ) (B A i 条件概率的概念和性质 x3: 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 既然条件概率也是概率, 因此, 条件概率具有概率的所有性质, 如: P(AjB) = 1 - P(AjB); P(A1 [ A2jB) = P(A1jB) + P(A2jB) - P(A1A2jB): 条件概率的概念和性质 x3: 条件概率 条件概率的概念和性质 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 条件概率概念的理解 设事件A表示“活到50岁", 事件B表示“活到51岁", 显然B A, 故AB = B. 由题意知P(A) = 0.90718; P(B) = 0.90135, 从而 P(B|A) = ) = = 0.99357. 90718 90135 . . 0 0 ) ) A B ( ( P P (A) AB P P( 人 ... ...
