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课件网) 概率论与数理统计 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 概率论与数理统计 x2: 统计量 1 基本概念 2 常用统计量 3 经验分布函数 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 概率论与数理统计 样本是进行统计推断的依据. 在应用时, 往往不是直接使用样本 本身, 而是针对不同的问题构造样本的适当的函数, 利用这些样 本的函数进行统计推断. 背景 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 概率论与数理统计 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一个样本, g(X1 ; X2 ; · · · ; Xn)是样 本X1 ; X2 ; · · · ; Xn的函数, 若g 中不含任何未知参数, 则 称g(X1 ; X2 ; · · · ; Xn) 是一个统计量. x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 定义 概率论与数理统计 设总体X N(μ; σ2 ), 其中μ已知, σ未知, X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自该 总体X的一个样本, 则X1 — μ , Xi , X 等都是统计量, i 2 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 例 不是统计量. , 但 jX1 j σ 概率论与数理统计 下面介绍几个常用的统计量. 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一 个样本, x1 , x2 , · · · , xn是该样本的一组观测值. x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 X = Xi; x = xi. 1. 样本均值 它的观测值记为 概率论与数理统计 下面介绍几个常用的统计量. 设X1 ; X2 ; · · · ; Xn是来自总体X的一 个样本, x1 , x2 , · · · , xn是该样本的一组观测值. 1. 样本均值 X = Xi; 它的观测值记为 x = xi. x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 概率论与数理统计 2. 样本方差 S2 = (Xi - X)2 = X - n(X)2 ) ; 它的观测值记为 s2 = (xi -x)2 = x - n(x)2 ). i 2 i 2 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 概率论与数理统计 x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 「| 1 s = ps2 = | (Xi - X)2 ; 「| 1 S = pS2 = | (xi -x)2 . 它的观测值记为 3. 样本标准差 / n - 1 / n - 1 概率论与数理统计 X ; k = 1; 2; · · · ; x ; k = 1; 2; · · · . i k i k x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 4. 样本k 阶原点矩 它的观测值记为 显然, 样本1阶原点矩就是样本均值. 1 n 1 n 概率论与数理统计 ak = Ak = X ; k = 1; 2; · · · ; x ; k = 1; 2; · · · . i k i k x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 显然, 样本1阶原点矩就是样本均值. 4. 样本k 阶原点矩 它的观测值记为 1 n 1 n 概率论与数理统计 ak = Ak = (Xi — X)k ; k = 1; 2; · · · ; (xi — x)k ; k = 1; 2; · · · . x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 5. 样本k 阶中心矩 它的观测值记为 显然, 样本1阶中心矩恒等于零. 1 n 1 n 概率论与数理统计 bk = Bk = (Xi — X)k ; k = 1; 2; · · · ; (xi — x)k ; k = 1; 2; · · · . x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 5. 样本k 阶中心矩 它的观测值记为 显然, 样本1阶中心矩恒等于零. 1 n 1 n 概率论与数理统计 bk = Bk = 我们必须指出的是: 若总体X的k阶矩E(Xk ) = μk存在, 则 Ak 其中k是某正整数. μk ; n ! 1; -! P x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 注 概率论与数理统计 事实上, 因为X1 ; X2 ; · · · ; Xn相互独立且与X同分布, 所以X , X , · · · , X 相互独立且与Xk 同分布. 故 E(X ) = E(X ) = · · · = E(X ) = μk: 由辛钦大数定律知 Ak = X μk ; n ! 1: —! P i k n k 2 k 1 k n k 2 k 1 k x2: 统计量 基本概念 常用统计量 经验分布函数 注 概率论与数理统计 而且, 进一步地, 设g(x1 ; x2 ; · · · ; x k)是 ... ...
