3．1.1 椭圆及其标准方程 学习任务 1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 核心素养 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养. 椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_2a__(常数)且2a_>__|F1F2|. 做一做：(多选题)下列说法中，不正确的是( ABD ) A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 [解析] 选项A中所求点的轨迹不存在，选项B中所求点的轨迹是线段MN，选项C由椭圆的定义知，C选项说法正确，选项D中所求点的轨迹是线段MN的垂直平分线. 求椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 _F1(－c,0)，F2(c,0)__ _F1(0，－c)，F2(0，c)__ a，b，c的关系 _b2＝a2－c2__ 思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 提示：能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大． 做一做：1.若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在_y__轴上，焦点坐标为_(0，－12)和(0,12)__. [解析] 因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0,12)． 2．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是 ＋＝1 . [解析] 因为焦距等于4，所以c＝2， 因为经过点P(6,0)，所以a＝6， 所以b2＝a2－c2＝36－4＝32. 因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.第1课时 椭圆的简单几何性质 学习任务 1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点) 2．能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点) 核心素养 通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养. 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 _－a≤x≤a，－b≤y≤b__ _－b≤x≤b，－a≤y≤a__ 顶点 _A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)__ _A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)__ 轴长 短轴长＝_2b__，长轴长＝_2a__ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：_x轴、y轴__对称中心：_原点__ 离心率 e＝∈_(0,1)__ 思考：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？ 提示：最大值a＋c，最小值a－c. 做一做：1.椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为( B ) A．2,1 B．4,2 C.，1 D．2，2 [解析] 由题意知a2＝4，b2＝3，则c2＝1， 从而2a＝4,2c＝2，故选B. 2．已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝ . [解析] 由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，从而e＝＝. 3．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1 . [解析] 由题意知2a＝8，＝，则c＝1，从而b2＝42－1＝15， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.第2课时 椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系 学习任务 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 核心素养 1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦 ... ...
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