四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（理）试卷(含解析)

四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（理）试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2．一次课外活动中,甲,乙,丙,丁,戊五名同学准备从羽毛球和乒乓球两项活动中随机选择一项参加,则甲,乙两名同学参加同一项活动的概率为( ) A. B. C. D. 3．已知平面向量,满足.若,则向量,的夹角为( ) A. B. C. D. 4．在的展开式中,常数项为( ) A. B.60 C. D.120 5．执行如图所示的程序框图,则输出的n值是( ) A.9 B.99 C.100 D.999 6．已知数列的前n项和为,若,则数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 7．函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 8．已知,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 9．已知函数在区间上恰好有两个最值,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 10．设正方体的棱长为1,与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M,则M的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 11．已知双曲线左 右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12．已知函数和有相同的最小值.若,则的最大值为( ) A. B.e C. D. 二、填空题 13．已知i为虚数单位,复数,计算_____. 14．已知等差数列的前n项和为,且,则_____. 15．如图,在矩形ABCD中,,,点E为线段CD的中点.沿直线AE将翻折,点D运动到点P的位置.当平面PAE与平面ABCE所成角为时,三棱锥的体积为_____. 16．已知点M在抛物线上运动,过点M的两直线与圆相切,切点分别为A,B,当取最小值时,直线AB的方程为_____. 三、解答题 17．在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h（单位：），得到如下的样本数据的频率分布直方图. （1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率； （3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）. 18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. （1）求角A; （2）若,,的角平分线交BC于D,求AD的长. 19．如图,在四棱锥中,,,平面平面PCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l. （1）证明:平面平面PCD; （2）已知.若直线l与直线AB所成的角为,求直线l与平面PAB所成角的正弦值. 20．已知定点,定直线,动点在曲线上. （1）设曲线C离心率为,点M到直线l的距离为d,求证:; （2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P,Q两点,过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R,直线QR是否过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 21．已知函数. （1）若,求的值; （2）若有2个零点,,证明:. 22．在直角坐标系xOy中,过点且倾斜角为的直线l与轴相交于点Q,以点Q为圆心的圆半径为2.以点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l的一个参数方程和圆Q的极坐标方程; （2）设直线l与圆Q相交于点M,N,求的面积. 23．已知. （1）求不等式的解集; （2）令的最小值为M,若正数a,b满足,证明:. 参考答案 1．答案：A 解析：集合,,则. 故选:A 2．答案：C 解析：基本事件的总数为, 甲 乙参加同一项活动包含的基本事件有, 由古典概型的计算公式,所以甲,乙参加同一项活动的概率为. 故选:C. 3．答案：C 解析：由得:, 又,所以, 设向量,的夹角为, 可得:,且, 解得向量,的夹角为. 故选:C. 4．答案：B 解析：由题意得:,,1,…,6, 当时,常数项为, 故选:B. 5．答案：B 解析：已知程序框图的功能是求, 由得,所以输出. 故选:B 6．答案：D 解析：,当时,, 当,,也满足, 所以数列的通项公式 ... ...