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北师大版(2019)高中数学选择性必修1第3章4.1直线的方向向量与平面的法向量 课件(共17张PPT)
日期:2025-05-04
科目:数学
类型:高中课件
查看:13次
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来源:二一课件通
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) 北师大版选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 4.1直线的方向向量与平面的法向量 情境引入 观察教室中黑板、课桌桌面、窗户等所在的平面,可以发现,课桌桌面所在的平面是水平的,与地面平行;黑板、窗户所在的平面都是竖直的,垂直于底面. 平面有“方向”吗? 如果平面有方向,那么如何来刻画平面的“方向”呢? 新知探究 问题1:如何用空间向量表示平面? 立体几何 空间向量 ? (1)不共线的三点确定一个平面 (2)直线和直线外一点确定一个平面 (3)两条相交直线确定一个平面 (4)两条平行直线确定一个平面 类比直线的向量表示:由直线上一点和直线的方向向量唯一确定. 一个定点和两个方向向量确定一个平面? 新知探究 追问:一个定点和两个定方向能否确定一个平面? 如果能,依据是什么?你能用向量表示这个平面吗? 设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和, 为平面上任意一点,由平面向量基本定理可知, 存在唯一的有序实数对,使得 , 点与向量和不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点. 新知探究 问题2:给定一个定点和一个定方向能否确定一个平面? 如果能,依据是什么? 给定空间中一点和一条直线,由立体几何知识可知: 过点且垂直于直线的平面 过点且平行于直线的平面 有无数个 唯一确定 利用点M和直线的方向向量来确定平面 概念生成 如果一条直线与一个平面垂直,那么就把直线的方向向量叫作平面的法向量,则. 追问1:平面的法向量是唯一的吗? 直线的方向向量有无数个(如,,等), 故平面的法向量也有无数个. 不唯一 追问2:对于平面内任意一点P, 和有什么关系 可以用哪种运算来表示这种关系? ,所以. ① 概念生成 如果一条直线与一个平面垂直,那么就把直线的方向向量叫作平面的法向量,则. 追问3:若已知向量,点的坐标为, 你能表示把①式用坐标表示吗? O 设平面内任意一点的坐标为, 则,代入①式, 得, 即.② 方程②叫做平面的方程. 连线配对 已知点,,,求平面的一个法向量的坐标. 找两个向量 设法向量 列方程组 赋值求解 应用举例 题后小结 例1 应用举例 在长方体中,已知,,. (1)在四边形内,是否存在一点,使得平面? (2)求证:与平面的交点恰为线段的三等分点. 例2 应用举例 在长方体中,已知,,. (1)在四边形内,是否存在一点,使得平面? 例2 应用举例 在长方体中,已知,,. (2)求证:与平面的交点恰为线段的三等分点. 要证明与平面的交点恰为线段的三等分点, 可以先求出线段三等分点的坐标,再验证其在平面内; 也可以将直线的方程与平面的方程联立求得交点坐标, 再验证其恰为线段的三等分点; 还可以设λ ,写出,通过求出λ . 例2 课堂练习 1.分别 出平面,平面,平面的一个法向量的坐标. 3.写出经过点,且与轴垂直的平面的方程. 4.写出经过点,且与轴垂直的平面的方程. 课堂练习 1.所求坐标, . 3.所求平面的方程. 4.所求平面的方程. 教材第124页练习第1、3、4题. 梳理小结 数学方法:类比推理、待定系数法 核心素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算 空间平面的法向量 空间直线的方向向量 类 比 O 平面的方程 平面的向量表示式 作业布置 巩固作业 教材第124页练习第2、5题. 拓展作业 在平面向量的学习中,我们知道A、B、C三点共线的充要条件是 λ+μ,其中λ+μ=1.你能将这个结论推广到空间吗? 思考:由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系,可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系?进一步的,利用空间向量可以解决哪些立体几何常见的问题呢? 探究作业 ... ...
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