专题8 函数新定义问题（过关集训） 一、单选题： 1．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． （2024辽宁大连八中） 2．定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ （2024山东青岛期中考试） 3．山东省青岛第二中学始建于1925年，悠悠历史翻开新篇：2025年，青岛二中将迎来百年校庆.在2023年11月8日立冬这天，二中学子摩拳擦掌，开始阶段性考试.若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，不等式恒成立，且，设为“立冬函数”，则满足“立冬函数”的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题： （2024广西名校校考） 4．函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题，其中正确的是（ ） A．存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数 B．图像上两点与的横坐标分别为1，2，则“曲率” C．图像上任意两点之间的“曲率” D．设是曲线上不同两点，且，若 恒成立，则实数的取值范围是 （2024河南许昌禹州高中月考） 5．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ） A．函数在上满足阶李普希兹条件. B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为2. C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解. D．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，使得. （2024浙江名校协作体月考） 6．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A．存在旋转函数 B．旋转函数一定是旋转函数 C．若为旋转函数，则 D．若为旋转函数，则 三、填空题： （2024江西南昌十九中月考） 7．小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 层住宅. （参考公式及数据：，，，） （2024陕西安康模拟预测） 8．1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认．1631年，英国数学家哈里奥特开始采用符号“”与“”，分别表示“大于”与“小于”，这就是我们使用的不等号．以上内容是某校数学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与不等式的综合问题：已知函数，，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． （2024湖南长沙期末考试） 9．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）.根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 . 四、双空题： （2024江苏南京金陵中学月考） 10．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函 ... ...
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