2023-2024学年上海市黄浦区敬业中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区敬业中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的斜率为，则直线的法向量为( ) A. B. C. D. 2.设点、均在双曲线：上运动，，是双曲线的左、右焦点，的最小值为 ( ) A. B. C. D. 以上都不对 3.若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点( ) A. 到原点的距离成等差数列 B. 到轴的距离成等差数列 C. 到轴的距离成等差数列 D. 到焦点的距离的平方成等差数列 4.已知点是抛物线：的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.椭圆的长轴长为_____． 6.抛物线的焦点坐标是 ． 7.已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为_____． 8.若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为_____． 9.在的展开式中，系数为有理数的项共有_____项． 10.名同学照相排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法共有_____种用数字表示 11.一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为，则此三棱锥的侧面积为_____． 12.已知直线：，：，：，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为_____． 13.如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积为_____． 14.已知、分别是双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线左右两支分别交于、两点，且，则 _____． 15.已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范围为_____． 16.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知圆：，直线：． 当为何值时，直线与圆相切； 当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 18.本小题分 ，两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得元奖金． 分别求以：获胜、以：获胜的概率； 若前两局双方战成：，后因为其他要事而中止比赛，问，怎么分奖金才公平？ 19.本小题分 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． 求证：平面平面； 当为中点时，求二面角的正弦值． 20.本小题分 已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点． 求椭圆的标准方程； 若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围； 是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，使为直角三角形其中为坐标原点？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 21.本小题分 已知曲线上的任意一点到两定点、的距离之和为，直线交曲线于、两点，为坐标原点． 求曲线的方程； 若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； 若，求面积的取值范围． 答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】 根据题意，求出直线的方向向量，设直线的法向量为，其坐标为，分析可得，据此分析选项中向量是否符合，综合即可得答案． 本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，直线的斜率为， 则直线的方向向量为； 设直线的法向量为，其坐标为， 则有， 据此分析选项：选项符合，、、都不符合； 故选：． 2.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了向量运算、双曲线性质，属于中档题． 设为的中点，则． 【解答】 解：设为的中点，如图： 则， 当且仅当在轴上时，取到等号， 的最小值为． 故选：． 3.【答案】 【解析】解：设，，， 则，，， 因为，，的横坐标的平方成等差数列， 所以， 即，可得， 因为，，到轴的距离为，，， 所以，，到轴的距离成等差数列． 故选：． 先设出三点的坐 ... ...