北京市日坛中学 2023～2024学年第二学期期中考试 高 一 年级 数学 试卷 2024.5 （本试卷共 4 页， 考试时间 120 min，满分 150 分） 第一部分（选择题 共 50分） 一、单选题：（共 10小题，每小题 5分） 1．已知复数 z 2i，则 z 的共轭复数 z 等于（ ） A．0 B．2i C． 2i D．-4 2．已知三条直线a ，b ，c满足： a 与b 平行，a 与c异面，则b 与c（ ） A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交 3．已知 是锐角，a 1,1 ，b cos ,sin ，且 a b，则 为（ ） A．30° B．45° C．60° D．30°或 60° i 4．在复平面内，复数 对应的点位于( ) 1 i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 5．如图，在矩形 ABCD中，E 为 BC 中点，那么向量 AD AE等于（ ） 2 A． AC B． AB C．BC D．BE 6．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，E、F 分别 为棱 AD、BC 的中点，则平面C1D1EF 与底面 ABCD 所 成的二面角的余弦值为（ ） 2 5 2 5 3 5 A． B． C． D． 2 5 5 5 7．在△ ABC 中，若b 3 ，c 3，B 30 ，则 a 等于（ ） A．2 3 B．3 2 C． 3 D．2 3 或 3 8．已知两条直线 m，n 和平面 ，那么下列命题中的真命题是（ ） A．若m n，n ，则m B．若m n，n ，则m / / C．若m ，n ，则m n D．若m / / ，n / / ，则m // n 1 9．在△ABC 中， AB AC 2， BC 2 3 ，点 P 在线段 BC 上. 当 PA PB 取得最小值时， PA （ ） 3 7 3 7 A. B. C. D. 2 2 4 4 10．如图，在棱长为1的正方体 中，P 为线段 A1B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ） A．平面CBP 平面BB1P B. DC1 PC C．三棱锥C1 D1PC的体积为定值 D． APD1的取值范围是 0, 2 第二部分（非选择题 共 100分） 二、填空：（共 6 小题，每小题 5分） 11．已知复数 z 1 3i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_____. 12． 2020年 5月 1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需 设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发， 向正北方向走了 80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东 60°方向走了 30米，到达可 回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走 米. 13．圆锥的轴截面是边长为 2的正三角形，则圆锥的侧面积为 . 14．设向量a ，b 满足 a 2， b 1， a,b 60 ，则 a 2b . 15．如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 1，侧棱 AA1 的 长为 2，E、F 分别为 A1B1和 AC 中点，则直线 EF 与平面 ABC 所 成角的余弦值为 ，异面直线 A1B与 AC1 所成角的余弦 值为 . 16．如图，从长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体 AEBF GCHD中截去部分几何体后，所得 几何体为三棱锥 A BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____． 1 ①三棱锥 A BCD的体积为 abc ； 3 ②三棱锥 A BCD的每个面都是锐角三角形； ③三棱锥 A BCD中，二面角 A CD B不会是直二面角； ④三棱锥 A BCD中，三条侧棱与底面所成的角分 2 2 2 别记为 , , ，则 sin sin sin ≤2 . 2 三、解答题：（共 70分） 17．如图，三棱柱 ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1 C1C ，平面 A1C1CA 平面BCC1B1，且P、E、F 分别是 AB、BC、A1B1 的中点． （Ⅰ）求证：BC1 平面 A1C1CA； （Ⅱ）求证：平面EFP 平面BCC1B1． 1 18．设△ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．已知b 15 ， ， cos B ． 6 （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）求△ ABC 的面积． 19．如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面PAD 底面 ABCD，E 为侧棱PD上一点． （Ⅰ）求证：CD / /平面 ABE； （Ⅱ）求证：CD AE ； （III）若 E 为PD中点，平面 ABE与侧棱 PC 交于点 F，且PA P D AD 2， 求四棱锥P ABFE的体积． 3 3 20．在①a b 1 3，② csin A 2，③b c 这三个条件中任选一个，补 ... ...
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