2023-2024学年福建省莆田市仙游县六校联盟高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，若，则( ) A. B. C. D. 2.已知四面体中，，，，，为中点，若，则( ) A. B. C. D. 3.高二甲乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率( ) A. B. C. D. 4.已知，，则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 5.函数在上的最小值为( ) A. B. C. D. 6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 7.在正方体中，点在线段上，且当为锐角时，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.随机变量，，则下列命题中正确的是( ) A. 若，则 B. 随机变量的密度曲线比随机变量的密度曲线更“矮胖” C. D. 10.若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在是凸函数的是( ) A. B. C. D. 11.已知函数，下列说法中正确的有( ) A. 函数的图象在处的切线方程为 B. 增区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，该电路由三个元件组成，每个元件之间能否正常运行是相互独立的，已知元件，，能正常运行的概率分别为、、，则该电路能正常运行的概率是_____． 13.若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是_____． 14.正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，，分别是，的中点，与交于点． 求证：平面； 平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 16.本小题分 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 合计 男生人数 女生人数 合计 若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； 若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 17.本小题分 已知函数在与时都取得极值． 求、的值与函数的单调区间； 若对，不等式恒成立，求的取值范围． 18.本小题分 体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有次投篮机会，若投中次或次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮次已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立． 求甲同学通过测试的概率； 若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为，求的分布列与均值． 19.本小题分 已知函数为自然对数的底数 Ⅰ若曲线在点处的切线平行于轴，求 ... ...
