2024届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二） 数学 本卷共6页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 2. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项，求指定项的系数. 【详解】展开式的通项为，， 所以的系数为． 故选：C 3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆台高，再由圆台的体积公式求出即可. 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 4. 已知正实数满足，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于的方程求解即得. 【详解】由，得，因此， 整理得，解得，即，经检验符合题意， 所以. 故选：B 5. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解. 【详解】设向量与的夹角为θ. 由，左右两边平方得,得. 由，得，从而. 故选:B. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解. 【详解】 . 故选：D 7. 拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出，，，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，则基本事件总数为， 事件“n次中至多有一次反面朝上”，则n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上， 则，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则，于是， 因为A与B独立，所以，即， 分别代入，3，4，5，验证，可得符合题意. 故选：B 8. 法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（ ） A. B. 26 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，求出M在第一象限的顶点P的坐标，设出过P且与椭圆C相切的直线方程，与椭圆联立，再利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形， 于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径， 因此该椭圆的蒙日圆方程为， M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、， 其中P在第一象限，显 ... ...
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