辽宁省沈阳市东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体为（　　） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台 2．（5分）在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞） 3．（5分）sin20°cos20°﹣cos225°＝（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 4．（5分）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6cm，C'D'＝2cm，则原图形OABC的面积是（　　）cm2． A．12 B．12 C．6 D． 5．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线y＝x对称，若z1＝2+i，则|z2+1﹣3i|＝（　　） A． B．5 C． D．1 6．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，动点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是（　　） A．[0，1] B．[﹣1，2] C．[﹣2，2] D．[﹣1，1] 7．（5分）如图（1）所示，已知点B在抛物线y＝x2上，过B作BA⊥x轴于点A，且OA＝a．将曲边三角形OAB如图（2）所示放罝，并将曲边三角形OAB沿平面OAB的垂线方向平移一个单位长度（即AA1＝1），得到相应的几何体OAB﹣O1A1B1．取一个底面面积为a2高为a的正四棱锥S﹣MNPQ放在平面ABB1A1上如图（3）所示，这时，平面OO1S∥平面ABB1A1，现用平行于平面ABB1A1的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形CDEF，四边形M1N，P1Q1，截面与平面OO1S的距离为x0（0＜x0＜a）），试用祖暅原理，曲边三角形OAB的面积为（　　） A． B． C．a3 D．a2 8．（5分）已知，则＝（　　） A． B． C． D． 二、多项迭择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）在锐角△ABC中，下列结论一定成立的有（　　） A． B．cosA＞sinB C．sinA＞cosB D．tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC （多选）10．（6分）已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有（　　） A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．若z1＝，则z1+z2是实数 C．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0 D．若z1+z2＝0，则z1是实数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AB＝2，BC＝1，则该四棱锥的外接球的表面积为 　 　． 13．（5分）已知tanα＝2tanβ，，则sin（β﹣α）＝　 　． 14．（5分）已知棱长相等的正三棱锥P﹣ABC底面的三个顶点A，B，C均在以O为球心的球面上（其中O为△ABC的中心），球面与棱PA，PB，PC分别交于点A1，B1，C1．若球O的表面积为12π，则多面体A1B1C1﹣ABC的体积为 　 　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数． （1）若a＝2，求； （2）若是纯虚数，求a的值． 16．（15分）在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝， ＝5． （1）求AC的长； （2）求sin（2A﹣B）的值． 17．（15分）已知函数． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递增区间， （Ⅱ）若A为锐角△ABC的内角，且，求△ABC面积的取值范围． 18．（17分）如图，在正六棱锥P﹣ABCDEF中，球O是其内切球，，点M是底面ABCDEF内一动点（含边界），且OM＝OP． （1）求正六棱锥P﹣ABCDEF的体积； （2）当点M在底面ABCDEF内运动时，求线段OM所形成的曲面与底面ABCDEF所围成的几何体的表面积． 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国 ... ...