8.5.1 二项式定理 1．理解和掌握二项式定理、二项展开式的通项公式和二项式系数的性质，并会简单应用． 2．能解决二项展开式相关的简单问题． 重点：二项式定理的发现、理解和初步应用． 难点：灵活运用展开式、通项公式、二项式系数解题． 作为计数原理,尤其是组合数公式的应用,二项式定理有着广泛的应用价值.一方面,它可以继续巩固排列、 组合的相关知识,另一方面,借助它还可以推出组合数的诸多重要性质. 教学课件 （一）创设情境，生成问题 由 (a+b)1=a+b， (a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3． 探究：（a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)= 思考：1．展开共有多少项？ 2．各项的次数是怎样的？ 3．各项的系数有什么规律和特点？ (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n． (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n． 【设计意图】让学生体会从特殊到一般、从简单到复杂的推导过程. （二）探究新知 一般地, 有 我们把上面的式子称为二项式定理, 等号右边的多项式叫 的二项展开式, 共有( n +1 )项, 其中叫作二项式系数. 式中的 叫作二项展开式的通项, 它是展开式中的第( m +1 )项, 记作 我们把上式称为二项展开式的通项公式. 【设计意图】通过教师讲解，推导出二项式定理及通项公式. （三）典例辨析 例1. 求的二项展开式． 解： = =+10++． 例2. 求的二项展开式的第3项． 【分析】二项式定理中的 a 在此题中为 2 x , b 在此题中为 , 要注意整体代入 . 解： T3= 例3. 求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数 解： 已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC26－r·x3－r ∴T6＝－12·x－． ∴第6项的二项式系数为C＝6， 第6项的系数为C·(－1)·2＝－12． 二项式系数都是组合数C(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 例4.求展开式的常数项． 解：展开式的通项为 根据题意，有 3-m=0，m=3． 因此，常数项是 【设计意图】通过例题分析求解进一步领会如何用二项式定理解题 （四）巩固练习 1. 求的展开式． 解：在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到公式 依此公式，得 原式=1+ =1 2. 求的二项展开式中x3的系数． 解：展开式的通项为 ． 根据题意，有 9-2m=3 解得 m=3． 因此，x3的系数是 3．4展开式中的常数项为 ( ) A．6 B．8 C．12 D．24 解： 4的展开式中通项公式Tr＋1＝Cx4－r·r＝(－2)rCx4－2r， 当4－2r＝0时，展开式为常数，此时r＝2，展开式的常数项为：T3＝4C＝24． 4．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为 ( ) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i 解：由通项公式得T7＝C·(－i)6＝－C＝－210． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 （五）课堂小结 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固对二项式定理的掌握. （六）作业布置 随堂练习8.5.1；习题8.5-4,5题. ... ...
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