江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试卷(含解析）

江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．已知单位向量,的夹角为,则( ) A. B.0 C.1 D.2 2．在正方体中,下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 3．一组样本数据删除一个数后,得到一组新数据:10,21,25,35,36,40.若这两组数据的中位数相等,则删除的数为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 4．已知函数,则( ) A. B. C. D. 5．设,,,则的最小值为( ) A. B. C. D.3 6．若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7．设抛物线的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且,则直线MN的斜率为( ) A. B. C. D. 8．若,,成等比数列,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知双曲线的右焦点为F,直线是C的一条渐近线,P是l上一点,则( ) A.C的虚轴长为 B.C的离心率为 C.的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于 10．已知,.若随机事件A,B相互独立,则( ) A. B. C. D. 11．已知函数,的定义域均为R,的图象关于点对称,,,则( ) A.为偶函数 B.为偶函数 C. D. 三、填空题 12．设,i为虚数单位.若集合,,且,则_____. 13．在中,,,M为BC的中点,,则_____. 14．若正四棱锥的棱长均为2,则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为_____,该十面体的外接球的表面积为_____. 四、解答题 15．甲公司推出一种新产品,为了解某地区消费者对新产品满意度,从中随机调查了1000名消费者,得到下表: 满意 不满意 男 440 60 女 460 40 （1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关; （2）若用频率估计概率,从该地区消费者中随机选取3人,用X表示不满意的人数,求X的分布列与数学期望. 附:,. 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 16．设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为,且. （1）若在区间上有最大值无最小值,求实数m的取值范围; （2）设l为曲线在处的切线,证明:l与曲线有唯一的公共点. 17．如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面相互垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H. （1）从下面两个结论中选一个证明： ①；②直线HE，GF，AC相交于一点. （2）求直线BD到平面EFG的距离. 18．已知数列的前n项和为,,. （1）证明:数列为等比数列; （2）设,求数列的前n项和; （3）是否存在正整数p,q(),使得,,成等差数列 若存在,求p,q;若不存在,说明理由. 19．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,直线l与相切,与圆相交于A,B两点.当l垂直于x轴时,. （1）求的方程; （2）对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为. (i)若M,N分别为线段AB与圆O上任意一点,P为圆O上一点,当的面积最大时,求; (ii)若,均存在,记两者中的较大者为.已知,,均存在,证明:. 参考答案 1．答案：A 解析：. 故选:A. 2．答案：D 解析：以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1, 所以,,,,,,,, ,,,, ,, 对于A,,故A错误; 对于B,,故B错误; 对于C,,故C错误; 对于D,,故D正确. 故选:D. 3．答案：B 解析：依题意,新数据组有6个数,其中位数是, 显然原数据组有7个数,因此删除的数是中位数30. 故选:B 4．答案：B 解析：因为 由于,则. 故选:B 5．答案：C 解析：因为,所以, 因,,所以 . 当且仅当,即时取等. 故选:C. 6．答案：C 解析：函数, 可得, 若,此时单调递增,无极值点, 故,令,解得, 当时,,当时,, 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点, ,解得. 故选:C. 7．答案：A 解析：根据题意可得抛物线的焦点,准线方程为, 则有,设MN直线方程为, 联立,可得, 则,得,故, 设,,,,, M到准线距离为,N到准线距离为, 又,有,即,得, ,又,解得, ,又,解得. 故选:A 8．答案：B 解析：由,,成等比数列,得, 即, ,所以. ... ...