2023-2024学年浙江省金兰教育合作组织高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则( ) A. B. C. D. 2.下列四个命题中正确的是( ) A. 每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B. 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 3.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部是( ) A. B. C. D. 4.已知，为非零向量，且满足，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5.已知的三条边长分别为，，，且：：：：，则此三角形的最大角与最小角之和为( ) A. B. C. D. 6.已知平面直角坐标系下，的三个顶点坐标为：，，，若斜二测画法下的直观图是，则的面积为( ) A. B. C. D. 7.如图所示，在 中，点为线段上的中点，点为线段上靠近点的三等分点，，分别与交于，两点则( ) A. B. C. D. 8.在中，角，，所对的边分别为，，，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数，均不为，复数的共轭复数为，则( ) A. B. C. D. 10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是( ) A. 若，则是直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 11.已知，为非零向量，且满足，，则( ) A. ，夹角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是虚数单位，则 _____． 13.已知球的体积为，则球的表面积为_____，球的内接正四面体的体积为_____． 14.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形已知正三角形边长为，点为圆弧上的一点，且满足：，则的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知复数． 若复数是方程的一个复数根，求实数，的值； 若复数满足，求 16.本小题分 如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为，，点为线段上的动点． 若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比； 求的最小值及此时的值． 17.本小题分 设向量，满足，，． 求的值； 已知与的夹角的余弦值为，求的值． 18.本小题分 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，． 求； 若，为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 19.本小题分 对于平面向量，定义“变换”：， 若向量，，求； 已知，，且与不平行，，，证明：； 若向量，求． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：向量，，， 则，解得． 故选：． 根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 2.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：． 根据题意，举出反例可得、B错误，由圆柱、圆锥的定义分析和，综合可得答案． 本题考 ... ...
