第六节 数列放缩本质论 考向一 蛛网图与数列极限单调性判断 知识点一 函数迭代和数列的关系 已知函数 y f (x)满足 an+1=f (an )，则一定有 an+1=f (an ) f2 (an 1) fn (a1) ，故函数 y f (x)通过反复迭代 产生的一系列数构成了数列 an 或者记为 bn 、 xn ，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示： 下面以函数 y 2x 1和数列 an 1 2an 1 数列 a1 a2 a3 a4 a5 a6 …… an an 1 函数 x f (x) f2 (x) f3 (x) f4 (x) f5 (x) …… fn 1(x) fn (x) 数列 1 x 7 15 31 63 2n 1 2n 1 1 数列 1 1 1 1 1 1 1 1 函数 x 2x 1 4x 3 8x 7 16x+15 32x 31 …… 2n 1 x 2n 1 1 2n x 2n 1 可以发现： ①数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项 an ,an+1 都在函数 y f (x)上． ②数列的通项公式是函数对 a1迭代 n 1次的结果，即 an fn 1(a1)，每一次由于迭代产生出的因变量成为 下一次迭代的自变量． ③数列的首项 a1对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点． 知识点二 函数的迭代图像———蛛网图 函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数 y f (x)和直线 y x共同决定． 其步骤如下： 1．在同一坐标系中作出 y f (x)和 y x的图像（草图），并确定不动点．（如图 1 所示） 图 1 图 2 2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点 a1（如图 2所示） 3．由 a1向 y f (x)作垂直于 x轴的直线与 y f (x)相交，并确定交点 a1,a2 ． 4．由 a1,a2 向 y x作平行于 x轴的直线与 y x相交，并确定交点 a2 ,a2 ． 5．由 a2 ,a2 向 y f (x)作垂直于 x轴的直线与 y f (x)相交，并确定交点 a2 ,a3 ． 重复 4，5，直至找到点 an ,an 1 的最终去向． 知识点三 蛛网图与数列的单调性 定理 1： y f (x)的单调增区间存在两个不动点 x1，x2（x1
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